Para determinar se os vetores \( u = (1, 2, 1) \), \( v = (0, 1, 1) \) e \( w = (1, 3, 2) \) geram todo o espaço \( \mathbb{R}^3 \) ou apenas um subespaço menor, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. 1. Formar uma matriz: Colocamos os vetores como colunas de uma matriz: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] 2. Calcular o determinante: Se o determinante da matriz \( A \) for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e geram \( \mathbb{R}^3 \). Se o determinante for zero, eles geram um subespaço menor. Calculando o determinante: \[ \text{det}(A) = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 0 + 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (1) = -1 + 1 = 0 \] Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e não geram todo o espaço \( \mathbb{R}^3 \). 3. Analisar as opções: - a) conjunto \( S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y - z = 0\} \) - é um plano. - b) espaço \( \mathbb{R}^3 \) - não é correto, pois não geram todo o espaço. - c) conjunto \( S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y + z = 4\} \) - é um plano. - d) conjunto \( S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\} \) - é um plano. - e) conjunto \( S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\} \) - é um plano. Como os vetores geram um subespaço, a resposta correta é que eles geram um plano, mas não podemos determinar qual plano específico apenas com a informação dada. No entanto, a opção que melhor representa um subespaço gerado por vetores linearmente dependentes é qualquer uma das opções que descrevem um plano. Portanto, a resposta correta é que eles geram um subespaço, mas não podemos escolher uma única opção sem mais informações. Se precisar de uma escolha, qualquer uma das opções a), c), d) ou e) pode ser considerada correta, pois todas representam planos.