Para determinar a relação entre os vetores \( \mathbf{u} = (-1, 3, -4) \) e \( \mathbf{v} = (3, 0, 12) \), precisamos analisar se eles são paralelos, inversos, idênticos, semelhantes ou ortogonais. 1. Vetores paralelos: Dois vetores são paralelos se um é um múltiplo escalar do outro. Para verificar isso, podemos tentar encontrar um escalar \( k \) tal que \( \mathbf{u} = k \cdot \mathbf{v} \) ou \( \mathbf{v} = k \cdot \mathbf{u} \). 2. Vetores inversos: Dois vetores são inversos se eles têm a mesma direção, mas sentidos opostos. Isso também implica que um é um múltiplo escalar negativo do outro. 3. Vetores idênticos: Dois vetores são idênticos se eles têm a mesma direção e o mesmo módulo. 4. Vetores semelhantes: Dois vetores são semelhantes se têm a mesma direção, mas podem ter diferentes magnitudes. 5. Vetores ortogonais: Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Vamos calcular o produto escalar de \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (-1) \cdot 3 + 3 \cdot 0 + (-4) \cdot 12 = -3 + 0 - 48 = -51 \] Como o produto escalar não é zero, os vetores não são ortogonais. Agora, vamos verificar se eles são paralelos ou inversos. Para isso, vamos tentar encontrar um escalar \( k \): - Para o primeiro componente: \( -1k = 3 \) → \( k = -3 \) - Para o segundo componente: \( 3k = 0 \) → \( k = 0 \) (não é consistente) - Para o terceiro componente: \( -4k = 12 \) → \( k = -3 \) Como não encontramos um único valor de \( k \) que satisfaça todas as componentes, os vetores não são paralelos nem inversos. Portanto, a relação correta entre os vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) é que eles são semelhantes, pois têm direções diferentes e não são múltiplos um do outro. A alternativa correta é: D Vetores semelhantes.