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No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = f’(g(x))*g’(x). Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas de funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
Está correto apenas o que se afirma em:
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5).
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)).
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x).
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5).
1. I e IV.
2. II e III.
3. I e III.
4. Incorreta: II, III e IV.
5. II e IV.

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Vamos analisar cada afirmativa: I. A derivada de g(x) = 3cos(2x + 5) é dada por g'(x) = 3 * (-sen(2x + 5)) * 2 = -6sen(2x + 5). Portanto, essa afirmativa está incorreta, pois a derivada não é igual a 6sen(2x + 5). II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = z'(w(x)) * w'(x). A derivada de z(x) = sen(x) é cos(x), e a derivada de w(x) = cos(2x) é -2sen(2x). Portanto, H’(x) = cos(cos(2x)) * (-2sen(2x)), o que não corresponde à afirmativa. Portanto, essa afirmativa está incorreta. III. A derivada de f(x) = sen(5x + 2) é f'(x) = 5cos(5x + 2). Portanto, essa afirmativa está incorreta, pois a derivada não é igual a 5sen(5x + 2) * cos(x). IV. A derivada de f(f(x)) não é simplesmente a derivada de f(x) aplicada duas vezes. Para calcular a derivada de f(f(x)), precisaríamos aplicar a regra da cadeia, e a afirmativa não está correta como está escrita. Com base nas análises, todas as afirmativas estão incorretas. Portanto, a alternativa correta é: 4. Incorreta: II, III e IV.

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O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para inúmeras áreas do conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e corpos, possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a propiciar o descobrimento de uma nova informação. Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à equação horária da velocidade v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir:
Está correto apenas o que se afirma em:
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x).
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x).
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x).
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x).
1. I, II, III.
2. I, II, III.
3. I, III e IV.
4. Incorreta: III e IV.
5. II e IV.

As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
Está correto apenas o que se afirma em:
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares.
II. As funções trigonométricas são circulares.
III. As funções inversas são funções circulares.
IV. x²+y² = 25 é uma função circular.
1. I e IV.
2. II, III e IV.
3. I, III e IV.
4. Incorreta: II e IV.
5. II e III.

A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam. Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra.
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização.
1. F, F, F, V.
2. F, F, V, V.
3. V, V, V, F.
4. V, V, F, V.
5. Correta: F, V, V, F.

Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir.
Está correto apenas o que se afirma em:
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x).
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem.
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x).
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x.
1. I, II e III.
2. II e IV.
3. II e III.
4. Incorreta: I e II.
5. I e III.

Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite desconhecido. Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir:
Está correto apenas o que se afirma em:
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas.
1. II, e IV.
2. I, II, III.
3. I, II, III e IV.
4. III e IV.
5. Correta: II, III e IV.

Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples. Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3.
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0.
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))).
IV. ( ) f’’(x) = -f(x).
1. V, F, V, V.
2. Correta: F, F, V, V.
3. V, V, F, V.
4. V, V, F, F.
5. F, F, V, F.

O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a área abaixo da curva que a descreve. Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
1. V, V, V, F.
2. Correta: V, F, V, V.
3. V, V, F, F.
4. V, F, V, F.
5. F, F, V, V.

A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos expressões da forma 0/0, por exemplo. Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas propriedades, analise as afirmacoes a seguir:
Está correto apenas o que se afirma em:
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito ainda estiver valendo.
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve.
III. A regra é aplicada por um processo de derivação.
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações.
1. I e II.
2. I, II e IV.
3. III e IV.
4. II e III.
5. Correta: I, II e III.