Para encontrar a derivada direcional da função \( f(x,y) = x e^y + \cos(xy) \) no ponto \( P(2,0) \) na direção de um vetor \( \mathbf{u} \), siga os passos abaixo: 1. Calcule as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = e^y - y \sin(xy) \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x e^y - x \sin(xy) \) 2. Avalie as derivadas parciais no ponto \( P(2,0) \): - \( f_x(2,0) = e^0 - 0 \cdot \sin(0) = 1 \) - \( f_y(2,0) = 2 e^0 - 2 \cdot \sin(0) = 2 \) 3. Forme o vetor gradiente: - \( \nabla f(2,0) = (f_x(2,0), f_y(2,0)) = (1, 2) \) 4. Normalize o vetor direção \( \mathbf{u} \) (supondo que você tenha um vetor \( \mathbf{u} = (a,b) \)): - \( \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}(a,b) \) 5. Calcule a derivada direcional: - A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f(2,0) = \nabla f(2,0) \cdot \mathbf{u} = (1, 2) \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right) = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) Assim, a derivada direcional de \( f \) no ponto \( P(2,0) \) na direção do vetor \( \mathbf{u} \) é dada por \( \frac{a + 2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Para uma resposta mais específica, você precisaria fornecer o vetor direção \( \mathbf{u} \).