Para encontrar a área da região R delimitada pela reta \(y = x + 2\) e pela parábola \(y = x^2\), precisamos primeiro determinar os pontos de interseção entre as duas curvas. Igualando as duas equações: \[ x + 2 = x^2 \] Rearranjando, temos: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Fatorando a equação: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Assim, os pontos de interseção são \(x = 2\) e \(x = -1\). Agora, para calcular a área entre as curvas, usamos a integral definida: \[ A = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - (x^2)) \, dx \] Calculando a integral: \[ A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx \] Calculando a integral: \[ A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \] Calculando os limites: 1. Para \(x = 2\): \[ A(2) = \frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \] 2. Para \(x = -1\): \[ A(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{5}{3} = \frac{3}{6} - \frac{10}{6} = -\frac{7}{6} \] Agora, subtraímos os resultados: \[ A = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} \] Para somar, precisamos de um denominador comum: \[ \frac{10}{3} = \frac{20}{6} \] Portanto: \[ A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \] Assim, a área da região R é \(9/2\) unidades quadradas. A alternativa correta é: D) \(9 \frac{2}{u.a.}\)