Exercício 7: Seja f(x, y) = x³/2 − 3xy² + 2x. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função \( f(x, y) = x^{3/2} - 3xy^2 + 2x \), vamos seguir os passos: ### Derivadas Parciais de Primeira Ordem 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^{3/2} - 3xy^2 + 2x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3y^2 + 2 \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^{3/2} - 3xy^2 + 2x) = -6xy \] ### Derivadas Parciais de Segunda Ordem 1. Derivada parcial de \( f_x \) em relação a \( x \): \[ f_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(f_x) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{3}{2}x^{1/2} - 3y^2 + 2\right) = \frac{3}{4}x^{-1/2} \] 2. Derivada parcial de \( f_x \) em relação a \( y \): \[ f_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(f_x) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{3}{2}x^{1/2} - 3y^2 + 2\right) = -6y \] 3. Derivada parcial de \( f_y \) em relação a \( x \): \[ f_{yx}(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}(f_y) = \frac{\partial}{\partial x}(-6xy) = -6y \] 4. Derivada parcial de \( f_y \) em relação a \( y \): \[ f_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial y^2}(f_y) = \frac{\partial}{\partial y}(-6xy) = -6x \] ### Resumo das Derivadas - Derivadas parciais de primeira ordem: - \( f_x(x, y) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3y^2 + 2 \) - \( f_y(x, y) = -6xy \) - Derivadas parciais de segunda ordem: - \( f_{xx}(x, y) = \frac{3}{4}x^{-1/2} \) - \( f_{xy}(x, y) = -6y \) - \( f_{yx}(x, y) = -6y \) - \( f_{yy}(x, y) = -6x \) Espero que isso ajude nos seus estudos!