Exercício 14. a) Sejam , e vetores não nulos mutuamente ortogonais no espaço. Mostre que , e são vetores LI.

Question

Exercício 14. a) Sejam ,  e  vetores não nulos mutuamente ortogonais no espaço. Mostre que ,  e são vetores LI.

Ed · Answer

Para mostrar que os vetores $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $ são linearmente independentes (LI), precisamos provar que a única solução para a combinação linear $ a\mathbf{u} + b\mathbf{v} + c\mathbf{w} = \mathbf{0} $ é $ a = b = c = 0 $.

1. **Definição de ortogonalidade**: Como os vetores são mutuamente ortogonais, temos:
   - $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 $
   - $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 0 $
   - $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0 $

2. **Combinação linear**: Considere a combinação linear:
   $$
   a\mathbf{u} + b\mathbf{v} + c\mathbf{w} = \mathbf{0}
   $$

3. **Multiplicando por $ \mathbf{u} $**:
   $$
   (a\mathbf{u} + b\mathbf{v} + c\mathbf{w}) \cdot \mathbf{u} = \mathbf{0} \cdot \mathbf{u}
   $$
   Isso resulta em:
   $$
   a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}) + b(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) + c(\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}) = 0
   $$
   Como $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0 $ e $ \mathbf{w} \cdot \mathbf{u} = 0 $, temos:
   $$
   a \|\mathbf{u}\|^2 = 0
   $$
   Como $ \mathbf{u} $ é não nulo, $ \|\mathbf{u}\|^2 > 0 $, então $ a = 0 $.

4. **Multiplicando por $ \mathbf{v} $**:
   $$
   (a\mathbf{u} + b\mathbf{v} + c\mathbf{w}) \cdot \mathbf{v} = 0
   $$
   Resulta em:
   $$
   a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + b(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) + c(\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}) = 0
   $$
   Como $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 $ e $ \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} = 0 $, temos:
   $$
   b \|\mathbf{v}\|^2 = 0
   $$
   Assim, $ b = 0 $.

5. **Multiplicando por $ \mathbf{w} $**:
   $$
   (a\mathbf{u} + b\mathbf{v} + c\mathbf{w}) \cdot \mathbf{w} = 0
   $$
   Resulta em:
   $$
   a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) + b(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) + c(\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}) = 0
   $$
   Como $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 0 $ e $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0 $, temos:
   $$
   c \|\mathbf{w}\|^2 = 0
   $$
   Portanto, $ c = 0 $.

6. **Conclusão**: Como $ a = 0 $, $ b = 0 $ e $ c = 0 $ são a única solução, os vetores $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $ são linearmente independentes.

Assim, provamos que $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $ são vetores linearmente independentes.

Matemática

Exercício 14. a) Sejam , e vetores não nulos mutuamente ortogonais no espaço. Mostre que , e são vetores LI.

MA23 - GRUPO 03 - CAPÍTULO 14 - Produto Vetorial

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Determine os valores de x e y de modo que o vetor u =(x, y, 1) tenha norma igual a √3 e seja perpendicular ao vetor v = (1,3,4).
Qual é a solução para os valores de x e y?

Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz: (u, v) < ||u|| ||v||. Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz torna-se uma identidade se, e somente se, os vetores u e v são múltiplos um do outro.

Prove, usando o item (a), a desigualdade triangular ||u + v|| < ||u|| + ||v||. Conclua que ||u + v|| = ||u|| + ||v|| se, e só se, u = 0 ou v = 0.

Sejam u e v vetores no espaço tais que u · v = 0. Mostre que u = 0 ou v = 0.

Sejam u e v vetores no espaço e seja ||u|| = ||v||. Mostre que:
a) ||u + v||² = ||u||² + ||v||² + 2(u · v); b) ||u - v||² = ||u||² + ||v||² - 2(u · v); c) ||u||² + ||v||² = ||u + v||² + ||u - v||².

Sejam u, v e w vetores não nulos mutuamente ortogonais no espaço.
Mostre que u, v e w são vetores linearmente independentes.

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