Um ponto cr??tico de uma fun?c~ao diferenci?avel f : S ! R de nida em uma superf??cie regular S ?e um ponto p 2 S tal que dfp = 0. a) Seja h : S ! R dada por h(p) = p:v, onde v 2 R3 ?e um vetor unit?ario. Mostre que gradh(p) ?e igual a proje?c~ao ortogonal de v sobre TpS e conclua que p 2 S ?e um ponto cr??tico de h se, e somente se, v ?e um vetor normal a S em p. b) Sejam F : R3 ! R de nida por F(x; y; z) = x e S2 = f(x; y; z) 2 R3; x2+y2+z2 = 1g. Considere f : S2 ! R de nida por f = FjS2 . Determine gradh(p1 3 ; p1 3 ; p1 3 ).