Determine o valor de k real sabendo que os vetores , e são coplanares. →u(2, −2, 0) →v(k, 0, 2) →w(2, 2, −1) 1 -8 7 -4 3

Para determinar o valor de \( k \) que torna os vetores \( \mathbf{u} = (2, -2, 0) \), \( \mathbf{v} = (k, 0, 2) \) e \( \mathbf{w} = (2, 2, -1) \) coplanares, podemos usar a condição de que o determinante da matriz formada por esses vetores deve ser igual a zero. A matriz é: \[ \begin{vmatrix} 2 & -2 & 0 \\ k & 0 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 0 \] Calculando os determinantes menores: \[ D = 2(0 \cdot -1 - 2 \cdot 2) + 2(k \cdot -1 - 2 \cdot 2) \] \[ D = 2(0 - 4) + 2(-k - 4) \] \[ D = -8 - 2k - 8 \] \[ D = -2k - 16 \] Para que os vetores sejam coplanares, \( D \) deve ser igual a zero: \[ -2k - 16 = 0 \] \[ -2k = 16 \] \[ k = -8 \] Portanto, o valor de \( k \) que torna os vetores coplanares é \( k = -8 \).