Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 (4 - x)} \, dx\) utilizando o método de decomposição em frações parciais, precisamos primeiro decompor a fração. A fração \(\frac{1}{x^2 (4 - x)}\) pode ser decomposta na forma: \[ \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{4 - x} \] Multiplicando ambos os lados pela expressão \(x^2(4 - x)\) e igualando os coeficientes, podemos encontrar os valores de \(A\), \(B\) e \(C\). Após encontrar os coeficientes, integramos cada termo separadamente. O resultado da integral será uma combinação de logaritmos naturais e termos racionais. Analisando as alternativas: A. \(\frac{\ln|x|}{16} - \frac{1}{4x} + \frac{\ln|4 - x|}{16} + K\) B. \(\frac{\ln|x|}{16} - \frac{1}{4x} - \frac{\ln|4 - x|}{16} + K\) C. \(\ln|16x| + \ln|4x^2| - \ln|16(4 - x)| + K\) D. \(\ln|16x| + \ln|4x^2| + \ln|16(4 - x)| + K\) E. \(\ln|16x| - \frac{1}{4x} - \ln|16(4 - x)| + K\) Após realizar a decomposição e a integração, a alternativa correta que representa o resultado da integral é a A. Portanto, a resposta correta é: A. \(\frac{\ln|x|}{16} - \frac{1}{4x} + \frac{\ln|4 - x|}{16} + K\)