Para estimar o volume do sólido acima do quadrado \( R = [0, 2] \times [0, 2] \) e abaixo do paraboloide elíptico \( z = 16 - x^2 - 2y^2 \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Divisão do quadrado \( R \): Divida \( R \) em quatro quadrados iguais. Os quadrados serão: - \( R_{11} = [0, 1] \times [0, 1] \) - \( R_{12} = [1, 2] \times [0, 1] \) - \( R_{21} = [0, 1] \times [1, 2] \) - \( R_{22} = [1, 2] \times [1, 2] \) 2. Escolha do ponto amostral: Para cada quadrado, escolha o canto superior direito como ponto amostral: - Para \( R_{11} \): ponto \( (1, 1) \) - Para \( R_{12} \): ponto \( (2, 1) \) - Para \( R_{21} \): ponto \( (1, 2) \) - Para \( R_{22} \): ponto \( (2, 2) \) 3. Cálculo da altura do sólido: Calcule a altura do sólido em cada ponto amostral usando a função \( z \): - \( z(1, 1) = 16 - 1^2 - 2(1^2) = 16 - 1 - 2 = 13 \) - \( z(2, 1) = 16 - 2^2 - 2(1^2) = 16 - 4 - 2 = 10 \) - \( z(1, 2) = 16 - 1^2 - 2(2^2) = 16 - 1 - 8 = 7 \) - \( z(2, 2) = 16 - 2^2 - 2(2^2) = 16 - 4 - 8 = 4 \) 4. Cálculo do volume aproximado: O volume aproximado \( V \) é a soma das áreas das caixas retangulares multiplicadas pela altura: - Cada quadrado tem área \( 1 \times 1 = 1 \). - Portanto, o volume é: \[ V \approx 1 \cdot z(1, 1) + 1 \cdot z(2, 1) + 1 \cdot z(1, 2) + 1 \cdot z(2, 2) = 13 + 10 + 7 + 4 = 34 \] Assim, o volume estimado do sólido é \( 34 \) unidades cúbicas.