Para calcular a massa do sólido \( G \) limitado pelo paraboloide \( z = x^2 + y^2 \) e pelo plano \( z = 4 \), precisamos usar a integral tripla. A densidade do sólido pode ser considerada uniforme, ou seja, \( \rho = 1 \) para simplificar. 1. Determinar os limites de integração: O paraboloide \( z = x^2 + y^2 \) intercepta o plano \( z = 4 \) quando \( x^2 + y^2 = 4 \). Isso define um círculo de raio 2 no plano \( xy \). 2. Configurar a integral: Usaremos coordenadas cilíndricas, onde \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) e \( z = z \). Assim, a equação do paraboloide se torna \( z = r^2 \) e os limites para \( r \) vão de 0 a 2, para \( \theta \) de 0 a \( 2\pi \), e para \( z \) de \( r^2 \) a 4. 3. Escrever a integral tripla: A massa \( M \) é dada por: \[ M = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{r^2}^{4} r \, dz \, r \, dr \, d\theta \] O fator \( r \) é da transformação para coordenadas cilíndricas. 4. Calcular a integral: Primeiro, integramos em relação a \( z \): \[ \int_{r^2}^{4} dz = 4 - r^2 \] Agora, substituímos na integral: \[ M = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] 5. Integrar em relação a \( r \): \[ M = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^2 (4r - r^3) \, dr \right) d\theta \] Calculando a integral em \( r \): \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(4) - \frac{16}{4} \right] = 8 - 4 = 4 \] 6. Integrar em relação a \( \theta \): \[ M = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4(2\pi) = 8\pi \] Portanto, a massa do sólido \( G \) é \( M = 8\pi \).