Considere a tabela abaixo, que contém alguns pontos da função f(x): X y = f(x) 0 -2.5 1 -7.2 2 -10.5 3 -11.2 4 -8.1 Deseja calcular, aproximadamente, o valor de f(x) quando x = 3.5, através de uma interpolação polinomial de grau 1. Utilizando o Método de Lagrange. determine os coeficientes de Lagrange a partir da escolha de 2 pontos x1 e x0.

Question

Considere a tabela abaixo, que contém alguns pontos da função f(x):  X  y = f(x)  0  -2.5  1  -7.2  2  -10.5  3  -11.2  4  -8.1  Deseja calcular, a...

Ed · Answer

Para calcular o valor de f(x) quando x = 3.5 usando a interpolação polinomial de grau 1 (ou seja, uma reta), você pode escolher dois pontos da tabela. Vamos escolher os pontos (3, -11.2) e (4, -8.1).

Os coeficientes de Lagrange são dados pela fórmula:

$$ L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

Para os pontos escolhidos:

1. **Para $ L_0(x) $**, que corresponde ao ponto (3, -11.2):
   $$
   L_0(x) = \frac{x - 4}{3 - 4} = -(x - 4) = 4 - x
   $$

2. **Para $ L_1(x) $**, que corresponde ao ponto (4, -8.1):
   $$
   L_1(x) = \frac{x - 3}{4 - 3} = x - 3
   $$

Agora, a interpolação é dada por:
$$
f(x) \approx L_0(x) \cdot f(3) + L_1(x) \cdot f(4)
$$
Substituindo os valores:
$$
f(3.5) \approx (4 - 3.5)(-11.2) + (3.5 - 3)(-8.1)
$$
$$
f(3.5) \approx (0.5)(-11.2) + (0.5)(-8.1)
$$
$$
f(3.5) \approx -5.6 - 4.05 = -9.65
$$

Portanto, o valor aproximado de f(3.5) é -9.65.

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