Para resolver a equação diferencial separável \( y' = 2xy^2 \), vamos separá-la: 1. Reescrevemos a equação como \( \frac{dy}{dx} = 2xy^2 \). 2. Separando as variáveis, temos \( \frac{1}{y^2} dy = 2x dx \). 3. Integrando ambos os lados: - A integral do lado esquerdo: \( \int \frac{1}{y^2} dy = -\frac{1}{y} + C_1 \). - A integral do lado direito: \( \int 2x dx = x^2 + C_2 \). 4. Igualando as integrais, temos: \(-\frac{1}{y} = x^2 + C\), onde \(C = C_2 - C_1\). 5. Isolando \(y\), obtemos: \(y = -\frac{1}{x^2 + C}\). Agora, analisando as alternativas: A) \( y = -\frac{1}{x^2} + c \) - Não é a solução correta. B) \( y = x^2 + c \) - Não é a solução correta. C) \( y = \frac{x^2}{2} + c \) - Não é a solução correta. D) \( y = \frac{x^2 y^3}{3} + c \) - Não é a solução correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à solução correta que encontramos. Portanto, parece que a questão pode estar com as alternativas erradas ou incompletas. Você precisa criar uma nova pergunta.