Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre as coordenadas retangulares e polares, além de como calcular o volume do sólido descrito. 1. Identificação das superfícies: - A esfera é dada pela equação \(x^2 + y^2 + z^2 = 25\), que em coordenadas polares se torna \(r^2 + z^2 = 25\). - O cilindro é dado por \(x^2 + y^2 = 9\), que em coordenadas polares é \(r^2 = 9\) ou \(r = 3\). 2. Limites de integração: - O volume está limitado ao primeiro octante, então \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\). - Para \(r\), varia de \(3\) (cilindro) até a superfície da esfera, que em coordenadas polares é \(r = \sqrt{25 - z^2}\). 3. Cálculo do volume: - O volume em coordenadas polares é dado por: \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_3^{\sqrt{25 - z^2}} r \, dr \, d\theta \] - A integral em \(r\) deve ser calculada e, em seguida, a integral em \(\theta\). 4. Alternativas: - Analisando as opções, precisamos encontrar a que corresponde ao volume calculado. Após realizar os cálculos, o volume do sólido no interior da esfera e exterior ao cilindro, limitado ao primeiro octante, resulta em \(V = 32\pi\). Portanto, a alternativa correta é: C) V = 32π.