Como calcular esta derivada na regra da cadeia ?

Vou usar uma explicação longa para que você possa entender, irei usar ideia de funções compostas e Notação de Newton.

f(x) = 1/(4x+1)^5 
Observe que f(x) é uma composição de duas funções, ou seja, f(x) = h(g(x)), então se  tomarmos h(x) = x^(-1) e g(x) = (4x+1)^5. 

Derivando f(x) pela Regra da Cadeia:

Deriva-se h(x) e substitui x por (4x+1)^5 em h'(x), como h'(x) = -x^(-2), substituindo ficará:
h'(x) = -((4x+1)^5)^(-2) 

Observando novamente que g(x) pode ser decomposta, pois g(x) = t(c(x)), onde t(x) = x^5 e c(x) = 4x + 1.

Derivando t(x) e substituindo x por 4x+1 em t'(x), e derivando c(x) e multiplicando por t'(x) tem-se:
t'(x) * c'(x) = 5(4x+1)^4 * 4 = g'(x)

O último passo é multiplicar h'(x) por g'(x):
h'(x) * g'(x) = -((4x+1)^5)^(-2) * 5(4x+1)^4 * 4
Como f'(x) = h'(x) * g'(x), então:
f'(x) = - 20/(4x+1)^6. 

De maneira rápida, bastaria derivar o que está fora e repetir o argumento em seguida multiplicar pela derivada do de fora.