integral de e^-|x|

Acho que fica ∫ e^x dx de -∞ a 0, + ∫ e^-x dx de 0 a +∞. e o resultado é 2.

Para a primitiva faz da mesma maneira. Calcula primitiva para x<0, calcula para x >0 e aplica modulos para combinar os dois resultados numa só expressão. Fica: para x<0 a primtiva é e^x, para x>0 é -e^-x, junto é |x|/x e^|x|. Porque modulo de x sobre x é mais ou menos um, conforme o sinal de x... É o sinal de x.

Vamos integrar o exemplo para entendermos isso:

\(I=\int e^{-\vert x\vert}dx\)

Ao fazermos a substituição sugerida, temos:

\(u=-\vert x\vert=\left\lbrace\begin{align} x\ \ \ \ \ \ &x>0\\ -x\ \ \ \ \ \ &x<0 \end{align}\right.\)

Derivando a segunda expressão, temos:

\({du\over dx}=\left\lbrace\begin{align} 1\ \ \ \ \ \ &x>0\\ -1\ \ \ \ \ \ &x<0 \end{align}\right.\)

Mas vamos calcular as expressões sugeridas pelo site:

\({x\over \vert x\vert}=\left\lbrace\begin{align} {x\over x}&=1\ \ \ \ \ \ &x>0\\ {x\over-x}&=-1\ \ \ \ \ \ &x<0 \end{align}\right.\)

\({\vert x\vert\over x}=\left\lbrace\begin{align} {x\over x}&=1\ \ \ \ \ \ &x>0\\ {-x\over x}&=-1\ \ \ \ \ \ &x<0 \end{align}\right.\)

Ou seja:

\(\boxed{{du\over dx}={x\over \vert x\vert}={\vert x\vert \over x}}\)

Sobre o fato de serem constantes, são se o intervalo da integral for exclusivamente negativo ou exclusivamente positivo.