Neste exercício, tem-se o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \underset{(x,y) \to (1,0)} \lim {(x-1)^2 y \over (x-1)^4 + y^2 }\)

Primeiro, vamos analisar o limite se \((x,y)\) se aproximar de \((1,0)\) através da função \(y=0\). Com isso, o resultado é:

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1 \\ y=0} \lim {(x-1)^2 y \over (x-1)^4 + y^2 } = \underset{x \to 1} \lim {(x-1)^2 \cdot 0 \over (x-1)^4 + 0^2 }\)

                             \(= \underset{x \to 1} \lim {0 \over (x-1)^4 }\)

                             \( = \underset{x \to 1} \lim 0\)

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1 \\ y=0} \lim {(x-1)^2 y \over (x-1)^4 + y^2 } =0\)    \((I)\)

Porém, se \((x,y)\) se aproximar de \((1,0)\) através da função \(y=(x-1)^2\), o resultado é:

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1 \\ y=(x-1)^2} \lim \,{(x-1)^2 y \over (x-1)^4 + y^2 } = \underset{x \to 1} \lim {(x-1)^2 \cdot (x-1)^2 \over (x-1)^4 + ((x-1)^2)^2 }\)

                                \(= \underset{x \to 1} \lim {(x-1)^4 \over (x-1)^4 + (x-1)^4 }\)

                                \(= \underset{x \to 1} \lim {(x-1)^4 \over 2(x-1)^4 }\)

                                \( = \underset{x \to 1} \lim {1 \over 2 }\)

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1 \\ y=(x-1)^2} \lim \,{(x-1)^2 y \over (x-1)^4 + y^2 } = {1 \over 2}\)      \((II)\)

Para o limite de uma função existir, é necessário que ela seja igual para todas as aproximações. Porém, pelas equações \((I)\) e \((II)\), nota-se que as duas aproximações propostas resultaram em valores diferentes.

Concluindo, o limite \( \underset{(x,y) \to (1,0)} \lim {(x-1)^2 y \over (x-1)^4 + y^2 }\) não existe, ou seja:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \underset{(x,y) \to (1,0)} \lim {(x-1)^2 y \over (x-1)^4 + y^2 } = \nexists $}\)