Nesse exercício vamos usar o conceito de antiderivada, que nada mais é que o inverso da derivada, ou a integral, ou seja, em outras palavras o exercício pede que calculemos a integral dada.
$$I=\int\sqrt{x^2+1}x\, dx$$
Para começar vamos fazer $u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx$:
$$I=\int\sqrt{u}{1\over2}du$$
Vamos agora mudar a notação de radiciação para potenciação:
$$I={1\over2}\int u^{1/2}du$$
Usando a regra do tombo invertida, isto é:
$$\int u^n\, du = {u^{n+1}\over n+1}$$
Com $n=1/2$:
$$I={1\over3}u^{3/2}+C$$
Por último precisamos voltar para a variável original:
$$I={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C$$
Logo a antiderivada pedida vale:
$$\boxed{\int\sqrt{x^2+1}x\, dx ={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C }$$
Nesse exercício vamos usar o conceito de antiderivada, que nada mais é que o inverso da derivada, ou a integral, ou seja, em outras palavras o exercício pede que calculemos a integral dada.
$$I=\int\sqrt{x^2+1}x\, dx$$
Para começar vamos fazer $u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx$:
$$I=\int\sqrt{u}{1\over2}du$$
Vamos agora mudar a notação de radiciação para potenciação:
$$I={1\over2}\int u^{1/2}du$$
Usando a regra do tombo invertida, isto é:
$$\int u^n\, du = {u^{n+1}\over n+1}$$
Com $n=1/2$:
$$I={1\over3}u^{3/2}+C$$
Por último precisamos voltar para a variável original:
$$I={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C$$
Logo a antiderivada pedida vale:
$$\boxed{\int\sqrt{x^2+1}x\, dx ={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C }$$
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