Verifique utilizando o teste da comparaçao se a série  e convergente ou divergente dados

Vamos determinar se a seguinte série converge ou diverge usando o teste da comparação:

\(S = \sum\limits_{N=0}^\infty {5\over N^4+1}\)

Para isso vamos usar:

\(S_B=\sum\limits_{n=0}^\infty{5\over n^4}=5\sum\limits_{n=0}^\infty{1\over n^4}\)

Sabemos que \(S_B\) converge por ser proporcional à série p-harmônica com \(p=4>1\). Se aumentamos o denominador de uma fração, ela diminui, de forma que temos:

\({1\over n^4+1}<{1\over n^4}\)

Somando a inequação acima, temos:

\(\sum\limits_{n=0}^\infty{1\over n^4+1}<\sum\limits_{n=0}^\infty{1\over n^4}\)

Multiplicando por 5, temos:

\(\sum\limits_{n=0}^\infty{5\over n^4+1}<\sum\limits_{n=0}^\infty{5\over n^4}=​​S_B\)

Como \(S_B\) converge, isto é, é um número finito, temos que \(S\) também converge.

De a cordo com o teste de comparaão envolvendo limites, temos: Sejam Σan e Σbn duas séries. se lim n→∞ an/bn > 0 então ambas as séries Σan e Σbn convergem ou divergem. 

an = 5/n^4+1 e bn 5/n^4. Para verificar se Σ an é convergente ou divergente, basta estudadr a série Σbn. Usando o teste da divergencia temos que:

Se lim n→∞ bn ≠ 0, a série diverge. Caso contrário, nada podemos afirmar.

Como lim n→∞ 5/n^4 0, nada podemos afirmar.

Por outro lado temos que:

Σ^∞ n→1 5/n^4 = 5 . Σ^∞ n→1 1/n^4. A série Σ^∞ n→1 1/n^4 converge, pois trata da série de Dirichlet (Σ^∞ n→1 1/n^p). Logo Σ^∞ n→1 5/n^4 = k.

Caso lim n→∞ an/bn > notaremos que Σan é convergente.

lim n→∞ an/bn = lim n→∞ 5/n^4+1/5/n^4 = lim n→∞(5?n^4 + 1 . n^4/5) = lim n→∞ n^4/n^4+1 = lim n→∞ (n^4+1-1/n^4+1) =>

lim n→∞ (n^4+1/n^4+1 - 1/n^4+1) = lim n→∞ 1 - lim n→∞ 1/n^4+1 = 1 - 0 = 1

Como lim n→∞ an/bn = 1>0 e Σbn = k, temos que lim^∞ n→0 5/n^4+1 converge.