EXERCÍCIO DA LATINHA DE REFRIGERANTE

V=400cm^3, r= raio em cm , h=altura em cm.

V=πr^2*h=400 --> h=400/πr^2.

Atotal=2*Abase + Alateral=2πr^2+2Πrh

Atotal=2πr^2+2Πr*400/πr^2 = 2πr^2+800/r

Atotal(r)=2πr^2+800/r   Mínima.

A'(r)= 4πr-800/r^2  --> A'(r)=0 --> 4πr-800/r^2 =0  -->4πr=800/r^2

r^3=800/(4π) --> r=(200/π)^(1/3)≅3.99cm.

A''(r)=4π+1600/r^3 --> A''((200/π)^(1/3))>0 --> A(r) min em r=(200/π)^(1/3)

h=400/πr^2

h=400/[π((200/π)^(1/3))^2]=4(25/π)^(1/3)≅7.98 cm

A QUANTIDADE DE ALUMÍNIO UTILIZADA SEJA MÍNIMA => r≅3.99 cm ; h≅7.98 cm

Para resolver esse exercício precisamos saber o Teste da Primeira Derivada, o qual diz:

Seja \(c\) um ponto crítico: 

a) Se \(f’(x) > 0 \)para todo \(x < c\) e \(f’(x) < 0\) para todo \(x > c\), então f(c) é o valor máximo absoluto (global) de \(f\)

b) Se \(f’(x) < 0\) para todo \(x < c\) e \(f’(x) > 0 \)para todo \(x > c\), então f(c) é o valor mínimo absoluto (global) de \(f\).

Além disso, devemos conhecer algumas fórmulas:

A área total de um cilindro é dada por :

\(A(r, h) = 2(πr^2) + (2πr)h \)     \((I)\)

O volume de um cilindro é dado por:

\(V = πr^2h   \)                        \((II)\)

Vamos substituir o volume dado no enunciado na equação \((II)\) e então isolar a variável \(h\) para substituí-la na equação \((I)\):

\(V = πr^2h   \\   400= πr^2h    \\  h=\frac{400}{πr^2}\)

Substituindo em \((I)\):

\(A(r, h) = 2(πr^2) + (2πr).(\frac{400}{πr^2})\\ A(r, h) = 2(πr^2) + (\frac{400}r)\)

Vamos então encontrar o ponto critico dessa equação, derivando em relação a \(r\) e igualando a zero:

\( 2(πr^2) + (\frac{400}r)\\ 4πr-\frac{400}{r^2}=0\\ 4πr = \frac{400}{r^2}\\ 4πr^3=400\\ r=\pm 3,17\)

como \(r> 0\) , vamos usar o valor positivo

Analisando a equação \(4πr-\frac{400}{r^2}\) vemos que, se diminuirmos \(r\), ela tende a ficar negativa, uma vez que a parcela negativa \(-\frac{400}{r^2}\) aumenta. Assim, uma vez que \(r=3,17\) é um ponto de inflexão:

Se \(r<3,17  \rightarrow A <0\)

Se \(r>3,17  \rightarrow A>0\)

Portanto, pelo teste da primeira derivada, o ponto \(r= 3,17 \) é um ponto de mínimo local.

Para achar \(h\), basta substituir o valor de r na relação \(h=\frac{400}{πr^2}\):

\(h=\frac{400}{πr^2}\\ h=\frac{400}{π(3,17^2)}\\ {h=12,67}\)

Portanto:

\(\boxed{h=12,67\:cm}\\ \boxed{r=3,17\:cm}\)