como calcular a derivada de x-1/x+1 pela definição ?

1.(x+1)-(x-1).1/(x+1)^2

A derivada do primeiro elemento vezes o segundo, menos o primeiro vezes a derivada do segundo. Tudo divido pelo segundo ao quadrado.

Neste exercício, será realizada a derivada da função \(f(x)={x-1 \over x+1}\). Para isso, será realizada a fórmula da definição de derivada, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow f^{'}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} {f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}\)

Primeiro, será calculado o denominador \(f(x+\Delta x)-f(x)\) da definição. Portanto, através de manipulações algébricas, temos que:

\(\Longrightarrow f(x+\Delta x)-f(x)={ (x+\Delta x)-1 \over (x+\Delta x)+1}-{x-1 \over x+1}\)

\(\Longrightarrow f(x+\Delta x)-f(x)={(x+\Delta x-1)(x+1) \over (x+\Delta x+1)(x+1)}-{(x+\Delta x+1)(x-1) \over (x+\Delta x+1)(x+1)}\)

\(\Longrightarrow f(x+\Delta x)-f(x)={x^2+x+x\Delta x+\Delta x-x-1 \over (x+\Delta x+1)(x+1)}-{x^2-x+x\Delta x - \Delta x+x-1 \over (x+\Delta x+1)(x+1)}\)

\(\Longrightarrow f(x+\Delta x)-f(x)={x^2+x+x\Delta x+\Delta x-x-1 -(x^2-x+x\Delta x - \Delta x+x-1)\over (x+\Delta x+1)(x+1)}\)

\(\Longrightarrow f(x+\Delta x)-f(x)={2\Delta x\over (x+\Delta x+1)(x+1)}\)

Substituindo o denominador na fórmula da definição, a derivada é:

\(\Longrightarrow f^{'}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} {{2\Delta x\over (x+\Delta x+1)(x+1)} \over \Delta x}\)

\(\Longrightarrow f^{'}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} {2\Delta x\over (x+\Delta x+1)(x+1)}{1 \over \Delta x}\)

\(\Longrightarrow f^{'}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} {2\over (x+\Delta x+1)(x+1)}\)

Finalmente, aplicando o limite de \(\Delta x\), a derivada da função \(f(x)={x-1 \over x+1}\) é:

\(\Longrightarrow f^{'}(x)={2\over (x+0+1)(x+1)}\)

\(\Longrightarrow \fbox{$f^{'}(x)={2\over (x+1)^2}$}\)