qual a integral de x.(2-x)²/2

3x^2/2-4x+2

para mais informações sobre como resolver integrais, sugiro utilizar o wolframalpha

ops perdão, li "derivada" kkk

a integral é  x^4/8-2x^3/3+x^2+ constante

Para facilitar nossos cálculos, vamos abrir a expressão \((2-x)^2\)

\((2-x)^2= 2^2-2.2.x+x^2 = 4-4x+x^2\)

Agora, vamos multiplicá-la por \(x\):

\((4-4x+x²).x= 4x-4x²+x³\)

Vamos colocar em uma integral:

\(\int\frac{4x-4x^2+x^3}{2}\)

Uma vez que o \(2\) no denominador é uma constante, podemos colocá-lo para fora da integral:

\(\frac{1}{2}\int4x-4x^2+x^3\)

Resolvendo a integral:

\(\frac{1}{2}\int4x-4x^2+x^3=\frac{1}{2}[\frac{4x^2}{2}-\frac{4x^3}{3}+\frac{x^4}{4}]\)

\(\frac{1}{2}[\frac{4x^2}{2}-\frac{4x^3}{3}+\frac{x^4}{4}]=x^2-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{8}\)

Assim:

\(\boxed{\int\frac{x.(2-x)^2}{2}=x^2-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{8}}\)