integral de (t+t/1)^3/2.(t^2-1/t^2)dt

Exponha a questão de forma mais clara.

 Primeiramente, devemos simplificar a equação: \((t+\frac{t}{1})^{\frac{3}{2}}(t^2 - \frac{1}{t^2})=(t+t)^{\frac{3}{2}} (t^2 -1)\cdot \frac{t^2}{t^2}=(2t)^{\frac{3}{2}}(\frac{t^4 -t^2}{t^2})\) \(=2^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{t^2}\cdot (t^4-t^2)\) \(=2^{\frac{3}{2}} \cdot t^{\frac{-1}{2}} \cdot (t^4-t^2)=2^{\frac{3}{2}}\cdot (t^{\frac{7}{2}}-t^{\frac{3}{2}})\) assim, se substituirmos na integral com a adição de dt: \(\implies \int (t+\frac{t}{1})^{\frac{3}{2}}\cdot (t^2-\frac{1}{t})dt=\int 2^{\frac{3}{2}}\cdot (t^{\frac{7}{2}}-t^{\frac{3}{2}})dt\) \(=2^{\frac{3}{2}}\cdot \int (t^{\frac{7}{2}}-t^{\frac{3}{2}})dt\) e, por fim, utilizando as propriedades que afirmam que \(\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+ \int g(x)dx\) e \(\int x^ndx= \frac{x^{n+1}}{n+1}\) então, podemos afirmar que: \(\int (t+\frac{t}{1})^{\frac{3}{2}}(t^2-\frac{1}{t^2})dt=2^{\frac{3}{2}}\cdot \int(t^{\frac{7}{2}}-t^{\frac{3}{2}})dt\)\(=2^{\frac{3}{2}} \left(\int t^\frac{7}{2}dt-\int t^{\frac{3}{2}}dt \right)=2^{\frac{3}{2}}\left( t^{\frac{7+2}{2}}-t^{\frac{3+2}{2}} \right)=2^\frac{3}{2} (t^{\frac{9}{2}}\cdot \frac{2}{9}-t^{\frac{5}{2}}\cdot \frac{2}{5})\) \(=2^{\frac{3}{2}}(10t^{\frac{9}{2}}-18t^{\frac{5}{2}})\cdot \frac{1}{45}\).

 Sendo que o fator multiplicativo no fim surgiu devido à simplificação fracionária por mínimo divisor comum.