Qual é o lim ³√x - ³√p / x-p quando x tende a p e p≠0 ?

Vamos calcular o seguinte limite:

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow p}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{p}\over x-p}\)

Racionalizando o numerador, temos:

\(\begin{align} L&=\lim\limits_{x\rightarrow p}\left({\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{p}\over x-p}\cdot{\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p}^2\over\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p}^2}\right)\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow p}\left({x-p\over x-p}\cdot{1\over\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p}^2}\right)\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow p}\left({1\over\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p}^2}\right)\\ \end{align}\)

Substituindo \(x=p\), temos:

\(\begin{align} L&={1\over\sqrt[3]{p}^2+\sqrt[3]{p}\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p}^2}\\ &={1\over3\sqrt[3]{p}^2} \end{align}\)

Finalmente temos:

\(\boxed{L={1\over3}p^{-2/3}}\)

x-p=(³√x)³ - (³√p)³ = (³√x - ³√p)( (³√x )² + (³√x)( ³√p) +(³√p)²), perceba que quando faço (³√x)³ - (³√p)³, tenho termos elevados a raiz cúbica e ao cubo ao mesmo tempo, oque faz com que a radiciação se cansele então x-p=(³√x)³ - (³√p)³, logo pela regra de fatoração a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²), efetuo a segunda parte da manipulação algebrica. Portanto x-p=(³√x)³ - (³√p)³ = (³√x - ³√p)( (³√x )² + (³√x)( ³√p) +(³√p)²), com isso resolverá o limite  e o resultado será 1/(3*x^(2/3)), espero ter ajudado!!