Como funciona a tabela verdade?

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples. 

A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante veremos como determinar o valor lógico de uma proposição composta.

Proposição composta do tipo P(p, q)

Proposição composta do tipo P(p, q, r)

Proposição composta do tipo P(p, q, r, s) 

A tabela-verdade possui 2⁴ = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.

Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,…, pn)

A tabela-verdade possui 2ⁿ linhas e é formada igualmente as anteriores.

A tabela-verdade é uma tabela utilizada para fazer a avaliação de proposições lógicas, verificando se determinados casos para uma dada situação são verdadeiros ou falsos.

De modo geral, uma proposição é uma afirmação, que pode ser verdadeira ou falsa. Um exemplo de proposição é: "Eu sou um humano", que é verdadeira. A proposição "O céu é verde", por sua vez, é falsa.

Existem operações (denominadas operações lógicas) que podem ser aplicadas em proposições e para combinar diferentes proposições. Veja:

Negação (\(\neg\)): nega uma proposição, isto é, se uma proposição \(P\) é verdadeira, então \(\neg P\) é falsa e vice-versa.

Conjunção (\( \wedge \)): é verdadeira apenas se as proposições envolvidas são todas verdadeiras. Pode ser interpretada como "e".

Disjunção (\( \vee \)): é verdadeira se pelo menos uma das proposições envolvidas é verdadeira. Pode ser interpretada como "ou".

Condicional (\( \to \)): é uma relação do tipo "\(A\) implica \(B\)", ou seja, a condicional é verdadeira apenas se \(B\) é verdadeira ou se tanto \(A \)quanto \(B\) forem falsas.

Bicondicional (\( \leftrightarrow \)): é uma relação condicional dupla, ou seja, é verdadeira apenas se \(A\) e \(B\) forem ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Veja como a tabela-verdade é organizada para duas proposições \(p\) e \(q\) lógicas, combinadas a partir destes operadores:

A partir dessa tabela, é possível verificar a validade de alguma expressão lógica (combinação de proposição a partir de operadores). Por exemplo, considere a expressão: "Se minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra". Veja que temos duas proposições:

\(p\): "Minha mãe é um trator".

\(q\): "Eu sou uma motosserra".

Agora note que ambas proposições são falsas, pois minha mãe e eu somos humanos. Além disso, perceba que a estrutura dessa expressão envolve uma operação de implicação (se ..., então), e, portanto, trata-se de uma condicional. A partir da tabela, vemos que se \(p\) é falsa e \(q\) é falsa, então \(p \to q\) é verdadeira. E veja que faz sentido, já que se é dito um absurdo como afirmação inicial, então qualquer outro absurdo pode ser consequência disso (por exemplo: "se o céu é verde, então eu sou Jesus").