calcule a integral indefinida f cos(x2) dx sen3(x2)

Photomath poderia ajudar ai!!

A função está um pouco bagunçada no enunciado. Vou interpretar que a função seja \(f(x)=cos(x^2)sen^3(x^2)\)

Assim, queremos:

\(\int cos(x^2)sen^3(x^2)dx\)

Vamos utilizar o método de substituição:

Seja 

\(u=sen(x^2)\)

derivando temos:

\(u=sen(x^2)\\ du=2cos(x^2)dx\)

Substituindo esses dois na integral:

\(\int cos(x^2)sen^3(x^2)dx\\ \int sen^3(x^2)[cos(x^2)dx]\\ \int u^3[\frac{du}2]\\ \int \frac{u^3}2 du\\ \)

Resolvendo essa integral, obtemos:

\(\int \frac{u^3}2 du=\frac{1}2\frac{u^4}4 =\frac{u^4}8\)

Mas dissemos que \(u=sen(x^2)\), assim:

\(\int u^3 du=\frac{u^4}8=\frac{sen^4(x^2)}8 \)

Portanto

\(\boxed{\int cos(x^2)sen^3(x^2)dx=\frac{sen^4(x^2)}8 }\)