Determine o limite função (t, cost t, (8-t³)/(4-t²)) qdo t tende a 2

solt a sfoltman

1. t, cost t, (8-t³)/(4-t²)=26

 Dividindo a função em quatro funções, para a primeira podemos utilizar uma simples substituição: \(​\lim_{t\rightarrow 2} t=2\). Na segunda, o mesmo método pode ser utilizado: \(\lim_{t\rightarrow 2} t*cos(t)=2*cos(2)=-0.8322\) (isso se 2 for expresso em radianos)

Para a terceira função a substituição simples resulta na indeterminação: \(\lim_{t\rightarrow 2} \frac{8-t^3}{4-t^2}=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{8-8}{4-4}=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{0}{0}\) . Como o teorema de L'Hospital afirma que, em limites indeterminados, o resultado do limite é igual ao resultado do limite da fração das derivadas, conforme expresso a seguir \(Se \lim_{t\rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty} \implies \lim_{t\rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\rightarrow a} \frac{\frac{df(t)}{dt}}{\frac{dg(t)}{dt}}\) assim, como \(f(t)=8-t^3 \implies f'(t)=-3t^2,g(t)=4-t^2 \implies g'(t)=-2t\) então \(\lim_{t\rightarrow 2} \frac{8-t^3}{4-t^2}=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{-3t^2}{-2t}=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{3t^2}{2t}=\frac{3*2^2}{2*2}=3\) .  Caso L'Hospital ainda não tenha sido demonstrado, há outra forma de resolver este limite, simplicando seus polinômios através da divisão polinomial, expressa a seguir: \(\lim_{t\rightarrow 2} \frac{8-t^3}{4-t^2}=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{(t^2+2t+4)(t-2)}{(t-2)(t+2)}=\lim_{t\rightarrow 2} \frac{t^2+2t+4}{t+2}=\frac{2^2+2*2+4}{2+2}=\frac{12}{4}=3\)

Obs: Como os limites expressam uma tendência, o que L'Hospital afirma é que, basicamente, a derivada da função aponta a "velocidade" com que ela cresce ou decresce conforme a variavel tende ao valor desejado. Assim, uma fração indeterminada cuja derivada do denominador cresça mais rapidamente para o infinito do que o numerador, porexemplo, terá o limite igual a zero.