qual a equaçao da reta tangene la curva y^3+x^2=0 nos pontos 1,-1

Vamos achar a derivada da curva.

3y².y' + 2x = 0

y' = -2x/3y²

substituindo o ponto (1,-1) temos:

y' = -2.(1) / 3.(-1)²  = -2/3

Reta tangente:

y - yo = y'.(x-xo)

y +1 = -2/3 (x-1)

y +2/3 x +1/3 = 0

Considerando a curva \(y^3 + x^2 = 0\), o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto \((x,y)\) é:

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x}(y^3 + x^2) = {\partial \over \partial x}(0)\)

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x}(y^3) + {\partial \over \partial x}(x^2) = 0\)

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial y}(y^3)\cdot {\partial y \over \partial x} + {\partial \over \partial x}(x^2) = 0\)

\(\Longrightarrow 3y^2\cdot {\partial y \over \partial x} +2x = 0\)

\(\Longrightarrow 3y^2\cdot {\partial y \over \partial x} = -2x \)

\(\Longrightarrow \underline { {\partial y \over \partial x} = -{ 2x \over 3y^2 } }\)

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente à curva \(y^3 + x^2 = 0\) no ponto \((x,y)=(1,-1)\) é:

\(\Longrightarrow {\partial y \over \partial x} = -{ 2\cdot 1 \over 3\cdot (-1)^2 } \)

\(\Longrightarrow {\partial y \over \partial x} = -{ 2 \over 3\cdot 1 } \)

\(\Longrightarrow {\partial y \over \partial x} = -{ 2 \over 3} \)

Portanto, a equação da reta tangente \( y_{tan}\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {\partial y \over \partial x} \cdot x + b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = -{2 \over 3} \cdot x + b\)

Substituindo o ponto \((x,y)=(1,-1)\) na equação de \( y_{tan}\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow -1 = -{2 \over 3} \cdot 1 + b\)

\(\Longrightarrow b= {2 \over 3}-1 \)

\(\Longrightarrow \underline { b= -{1 \over 3} }\)

Portanto, a equação da reta tangente \( y_{tan}\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = -{2 \over 3} \cdot x -{1 \over 3} $}\)