Esse é bem interessante! :)

lim(x^n-1)/(x-1) com x -->1

Precisa 'dividir' o polinômio x^n-1 por x-1, dando:

lim(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x^2+x+1) com x-->1

Este polinômio tem n termos, então, o limite dará 1+1+...+1 (n números 1)

Resultado: n

Espero ter ajudado!

deriva em relação a x em cima e em baixo, ae fica (nx^n-1)/1, então substitui x por 1, o resultado é n

Vamos resolver o seguinte limite:

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left({x^n-1\over x-1}\right)\)

Substituindo \(x=1\) na expressão, temos uma indeterminação, então temos que simplificar. Para isso, lembre-se que o somatório de uma PG é dado por:

\(\sum\limits_{k=0}^Na_k=\sum\limits_{k=0}^Na_0q^k=a_0\left({q^{N+1}-1\over q-1}\right)\)

Fazendo \(a_0=1,q=x,N=n-1\), temos:

\(\left({x^n-1\over x-1}\right)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k\)

Para o limite, temos, então:

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k\)

Substituindo \(x=1\) na expressão, não temos mais uma indeterminação:

\(L=\sum\limits_{k=0}^{n-1}1\Rightarrow\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}\left({x^n-1\over x-1}\right)=n}\)