Neste exercício, será calculada a integral \(\int e^{-2x} \sin x \space dx\). Para isso, será utilizado o método de integração por partes, método esse que é apresentado pela seguinte expressão:

\(\Longrightarrow \int u\space dv=uv- \int v \space du\)   \((I)\)

Considerando \(u_1=e^{-2x}\) e \(dv_1=\sin x \space dx\), tem-se as seguintes equações:

\(\Longrightarrow {d\over dx}u_1={d\over dx}e^{-2x}\)  \(\rightarrow du_1=-2e^{-2x}dx\)

\(\Longrightarrow {dv_1 \over dx}=\sin x\)    \(\rightarrow v_1=-\cos x\)

Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int u_1\space dv_1=u_1v_1- \int v_1 \space du_1\)

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \sin x \space dx=e^{-2x}(-\cos x)- \int (-\cos x)(-2e^{-2x}dx)\)

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \sin x \space dx=-e^{-2x}\cos x- 2\int e^{-2x}\cos x \space dx\)    \((II)\)

Agora, será analisada o último termo da equação \((II)\), ou seja, \(\int e^{-2x}\cos x \space dx\). Considerando \(u_2=e^{-2x}\) e \(dv_2=\cos x \space dx\), tem-se as seguintes equações:

\(\Longrightarrow {d\over dx}u_2={d\over dx}e^{-2x}\)  \(\rightarrow du_2=-2e^{-2x}dx\)

\(\Longrightarrow {dv_2 \over dx}=\cos x\)   \(\rightarrow v_2=\sin x\)

Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int u_2\space dv_2=u_2v_2- \int v_2 \space du_2\)

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \cos x \space dx=e^{-2x}\sin x- \int \sin x \space (-2e^{-2x}dx)\)

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \cos x \space dx=e^{-2x}\sin x+2 \int e^{-2x} \sin x \space dx\)    \((III)\)

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \sin x \space dx=-e^{-2x}\cos x- 2\color{Red}{\int e^{-2x}\cos x \space dx}\)

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \sin x \space dx=-e^{-2x}\cos x- 2\color{Red}{(e^{-2x}\sin x+2 \int e^{-2x} \sin x \space dx)}\)

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \sin x \space dx=(-e^{-2x}\cos x - 2e^{-2x}\sin x)-4 \int e^{-2x} \sin x \space dx\)

\(\Longrightarrow 5\int e^{-2x} \sin x \space dx=-e^{-2x}(\cos x + 2\sin x)\)

\(\Longrightarrow \int e^{-2x} \sin x \space dx=-{1\over 5}e^{-2x}(\cos x + 2\sin x)\)

Como se trata de uma integral indefinida, deve-se adicionar uma constante \(c\) qualquer no resultado final. Sendo assim, a integral \(\int e^{-2x} \sin x \space dx\) é:

\(\Longrightarrow \fbox{$\int e^{-2x} \sin x \space dx=-{1\over 5}e^{-2x}(\cos x + 2\sin x)+c$}\)