o que seria mesmo uma atividade jurisdicional? ou simples administração pública privada?

Atividade jurisdicional é o exercício da jurisdição. É o poder dever do estado de resolver os conflitos (na figura do juiz).

Jurisdição voluntária, graciosa, ou de administração pública é tudo a mesma coisa... Nada mais é do que a administração pública agindo em torno de interesses privados.

Nesse tipo de jurisdição não há lide, não há atuação do direito, não ocorre substitutividade.

De nada ^^ bons estudos.