Qual a solução de |x+2| - |X-3|>X ??

Boa noite, Gustavo!

Para resolver, vamos separar a solução em 3 partes, por conta dos módulos:

X-3=0 resolvido é X=3

X+2=0 resolvido é X=-2

Analisando o sinal, temos:

X<-2, temos que tanto X-3<0 quanto X+2<0.

Quando X≥-2 e X<3, temos que X+2≥0 e X-3<0

E quando X≥3, teremos que X+2≥0 e X-3≥0

Então, vamos lá! :)

Caso 1:

X<-2, temos que tanto X-3<0 quanto X+2<0

X-3<0 então |X-3|=-(X-3)

X+2<0 então |X+2|=-(X+2)

Substituindo, teremos:

|X+2|-|X-3|>X

-(X+2)-(-(X-3))>X

-X-2+X-3>X

-5>X então X<-5. Como a condição é que X<-2, então primeira solução: X<-5

Caso 2:

Quando X≥-2 e X<3, temos que X+2≥0 e X-3<0

X-3<0 então |X-3|=-(X-3)

X+2≥0 então |X+2|=X+2

Substituindo, teremos:

|X+2|-|X-3|>X

X+2-(-(X-3))>X

X+2+X-3>X

X>1. Como aqui a condição é X≥-2 e X<3 e também X>1, sai que 1<X<3

Caso 3:

Quando X≥3, teremos que X+2≥0 e X-3≥0

X-3≥0 então |X-3|=X-3

X+2≥0 então |X+2|=X+2

Substituindo, teremos:

|X+2|-|X-3|>X

X+2-(X-3)>X

X+2-X+3>X

5>X ou X<5. Como aqui a condição é X≥3, então 3≤X<5

Colocando as 3 soluções juntas:

X<-5 e 1<X<3 e 3≤X<5

Solução final: X<-5 e 1<X<5

Para isso, vamos analisar as hipóteses:

• caso1:\(|x+2|=x+2>0\\ x>-2\)
• caso 2:\(|x+2|=-(x+2)<0\\ x<-2\)
• caso 3:\(|x-3|=x-3> 0\\ x> 3\)

Resposta: pelo estudo de caso, vemos que essa desigualdade sempre é válida.