Qual o termo independente de x no desenvolvimento (-x + √ 2/x)^8

Oi,

tinha feito um cálculo errado na resposta anterior. Agora arrumei. Vamos lá.

Num binômio $(a+b)^n$(a+b)n , a fórmula do termo geral é dada por: $T_{k+1}= {n \choose k} (a)^{n-k} (b)^k$Tk+1​=(kn​)(a)n−k(b)k .

Observe que no exercício em questão, $a=-x$a=−x e $b=\frac{\sqrt(2)}{x}$b=x(​2)​. Queremos algo que não dependa de x no desenvolvimento. Note que isso acontece se $(x)^{n-k}\cdot (\frac{1}{x})^k=1$(x)n−k⋅(x1​)k=1 . Como n=8, esse resultado só será possível quando k=4.

Assim, $T_{4+1}= {8 \choose 4} (-x)^{8-4}\cdot (\frac{\sqrt(2)}{x})^4$T4+1​=(48​)(−x)8−4⋅(x(​2)​)4 $=\frac{8!}{4!\cdot 4!}(-x)^4\cdot \frac{4}{x^4}$=4!⋅4!8!​(−x)4⋅x44​ $=8\cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{x^4}{x^4}$=8⋅7⋅5⋅x4x4​$=280$=280 .

A resposta correta então é 280.