A equação por partes é:

\(\Longrightarrow {d \over dx}(uv)= v{d \over dx}(u) + u{d \over dx}(v)\)

\(\Longrightarrow uv= \int v{du \over dx} dx+ \int u{dv \over dx}dx\)

\(\Longrightarrow uv= \int v\, du+ \int u \, dv\)

\(\Longrightarrow \int u \, dv=uv - \int v\, du\)   \((I)\)

Para servir de exemplo, vamos resolver a integral a seguir:

\(\Longrightarrow \int xe^x \, dx\)

Escolhendo \(u=x\) e \(dv = e^x \, dx\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {d \over dx}(x)\\ v = \int e^x \, dx \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = 1\\ v = e^x \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} du = dx\\ v = e^x \end{matrix} \right.\)

Portanto, a equação \((I)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int u \, dv=uv - \int v\, du\)

\(\Longrightarrow \int xe^x \, dx=xe^x - \int e^x\, dx\)

\(\Longrightarrow \int xe^x \, dx=xe^x - e^x+c\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int xe^x \, dx = e^x ( x-1)+c $}\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.