A matriz que representa rotações

sim

Nesse exercício vamos estudar matriz de rotação.

A matriz de rotação no sentido horário é dada por:

$$A(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$

a) Vamos calcular o produto pedido e mostrar que é equivalente à rotação da soma:

$$A(\theta_1)A(\theta_2)=\begin{pmatrix}\cos\theta_1&\sin\theta_1\\-\sin\theta_1&\cos\theta_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta_2&\sin\theta_2\\-\sin\theta_2&\cos\theta_2\end{pmatrix}$$

Efetuando o produto das matrizes, temos:

$$A(\theta_1)A(\theta_2)=\begin{pmatrix}\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2&\cos\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_2\sin\theta_1\\-\sin\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_2\cos\theta_1&-\sin\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_1\cos\theta_2\end{pmatrix}$$

Pelas identidades de soma dos arcos, temos:

$$A(\theta_1)A(\theta_2)=\begin{pmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)&\sin(\theta_1+\theta_2)\\-\sin(\theta_1+\theta_2)&\cos(\theta_1+\theta_2)\end{pmatrix}$$

Finalmente:

$$\boxed{A(\theta_1)A(\theta_2)=A(\theta_1+\theta_2)}$$

Esse resultado mostra que rotacionar coordenadas de $\theta_1$ e $\theta_2$ consecutivamente é o mesmo que rotacionar uma vez só de $\theta_1+\theta_2$.

b) Pelo resultado do item a), temos:

$$A(\theta)A(-\theta)=A(\theta-\theta)=A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

Isto é, rotacionar coordenadas de $\theta$ seguido de $-\theta$ é o mesmo que não fazer nada.

Nesse exercício vamos estudar matriz de rotação.

A matriz de rotação no sentido horário é dada por:

$$A(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$

a) Vamos calcular o produto pedido e mostrar que é equivalente à rotação da soma:

$$A(\theta_1)A(\theta_2)=\begin{pmatrix}\cos\theta_1&\sin\theta_1\\-\sin\theta_1&\cos\theta_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta_2&\sin\theta_2\\-\sin\theta_2&\cos\theta_2\end{pmatrix}$$

Efetuando o produto das matrizes, temos:

$$A(\theta_1)A(\theta_2)=\begin{pmatrix}\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2&\cos\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_2\sin\theta_1\\-\sin\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_2\cos\theta_1&-\sin\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_1\cos\theta_2\end{pmatrix}$$

Pelas identidades de soma dos arcos, temos:

$$A(\theta_1)A(\theta_2)=\begin{pmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)&\sin(\theta_1+\theta_2)\\-\sin(\theta_1+\theta_2)&\cos(\theta_1+\theta_2)\end{pmatrix}$$

Finalmente:

$$\boxed{A(\theta_1)A(\theta_2)=A(\theta_1+\theta_2)}$$

Esse resultado mostra que rotacionar coordenadas de $\theta_1$ e $\theta_2$ consecutivamente é o mesmo que rotacionar uma vez só de $\theta_1+\theta_2$.

b) Pelo resultado do item a), temos:

$$A(\theta)A(-\theta)=A(\theta-\theta)=A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

Isto é, rotacionar coordenadas de $\theta$ seguido de $-\theta$ é o mesmo que não fazer nada.