toda serie alternada éconvergente?

Não, para testar se a série converge ou diverge você pode utilizar o Teste da Série Alternada:

Se uma série alternada satisfizer:

1. \(b_{n+1} \leq b_n, \textrm{para todo } n > N\)
2. \(\lim_{n \to \infty} b_n =0\)

então a série converge.