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1- Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=4, da região limitada por y=1/x, y=4 e x=4


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Ricardo Proba Verified user icon

Há mais de um mês

Se a região a ser rotacionada é limitada pelas funções y = 1/x e y = 4, o valor correspondente de x é:

-> 4 = 1/x

-> x = 1/4

Se a região a ser rotacionada também é limitada por x = 4, os limites de x são:

-> 1/4 ≤ x ≤ 4

Considerando o eixo de rotação Ly = 4, o volume V correspondente à curva y = f(x) = 1/x é:

-> V = π ∫ [ Ly - f(x) ]^2 dx

-> V = π ∫ [ 4 - 1/x ]^2 dx

-> V = π ∫ [ 16 - 8/x + 1/x^2 ] dx

-> V = π ∫ [ 16 - 8/x + x^(-2) ] dx

-> V = π [ 16x - 8lnx + x^(-1)/(-1) ]

-> V = π [ 16x - 8lnx - 1/x ]

-> V = π [ 16*4 - 8ln4 - 1/4 ] - π [ 16*1/4 - 8ln(1/4) - 1/(1/4) ]

-> V = π [ 64 - 8ln4 - 1/4 ] - π [ 4 + 8ln4 - 4 ]

-> V = π [ 64 - 8ln4 - 1/4 - 4 - 8ln4 + 4 ]

-> V = π [ 64 - 16ln4 - 1/4 ]

-> V = 41,57π

Considerando o eixo de rotação Ly = 4, o volume V correspondente à curva y = f(x) = 4 é zero. Portanto, o volume do sólido é:

-> V = 41,57π

Se a região a ser rotacionada é limitada pelas funções y = 1/x e y = 4, o valor correspondente de x é:

-> 4 = 1/x

-> x = 1/4

Se a região a ser rotacionada também é limitada por x = 4, os limites de x são:

-> 1/4 ≤ x ≤ 4

Considerando o eixo de rotação Ly = 4, o volume V correspondente à curva y = f(x) = 1/x é:

-> V = π ∫ [ Ly - f(x) ]^2 dx

-> V = π ∫ [ 4 - 1/x ]^2 dx

-> V = π ∫ [ 16 - 8/x + 1/x^2 ] dx

-> V = π ∫ [ 16 - 8/x + x^(-2) ] dx

-> V = π [ 16x - 8lnx + x^(-1)/(-1) ]

-> V = π [ 16x - 8lnx - 1/x ]

-> V = π [ 16*4 - 8ln4 - 1/4 ] - π [ 16*1/4 - 8ln(1/4) - 1/(1/4) ]

-> V = π [ 64 - 8ln4 - 1/4 ] - π [ 4 + 8ln4 - 4 ]

-> V = π [ 64 - 8ln4 - 1/4 - 4 - 8ln4 + 4 ]

-> V = π [ 64 - 16ln4 - 1/4 ]

-> V = 41,57π

Considerando o eixo de rotação Ly = 4, o volume V correspondente à curva y = f(x) = 4 é zero. Portanto, o volume do sólido é:

-> V = 41,57π

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