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Como calcular juros compostos?


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Guilherme Silva

Há mais de um mês

No regime de capitalização composta os juros são somados ao capital anterior formando um novo capital a cada período. Se os juros forem mensais, por exemplo, a cada mês há uma nova capitalização, portanto são exponenciais.

Vamos supor um capital de R$100,00 tomados a juros de 20% por 3 meses.

No 1° mês a dívida será de R$100,00 + os juros sobre ele 100,00 x 20/100.

* lembrando que 20% significa 20/100 que em decimais é 0,2.

100,00+100,00.20/100=120,00   No mês seguinte o novo capital será de 120,00, mas vamos reescrevê-lo como na conta acima.

No segundo mês teremos a dívida anterior (100,00+100,00.20/100) mais os juros sobre ele mesmo, (100,00+100,00.20/100).20/100.

Para facilitar chamaremos os 100,00 iniciais de "Valor Presente" (VP), e os "juros" de 20/100 de i. Assim teremos no 2° mês:  (VP + VP.i) +  (VP + VP.i)i

Fatorando podemos colocar o VP em evidência: VP (1+i) + (VP + VPi)i

agora colocaremos o i para dentro do segundo parêntese VP (1+i) + (VPi+VPi2)

pode-se agora colocar o VPi em evidência VP (1+i) + VPi (1+i)

Veja que no 1° mês temos VP vezes 1 que significa ele mesmo mais os juros i e no 2° mês é acrescido juros sobre o valor já capitalizado no primeiro mês. Assim chamaremos (1+i), por enquanto, de fator de correção da aplicação. A multiplicação por 1 repõe o capital inicial na conta e o i que será representado pelo valor decimal após a vírgula acrescenta-lhe os juros.

Dito isso, mais uma vez temos um elemento repetido, portanto, passível de fatorar, trata-se do próprio fator de correção da aplicação.

Vejamos: (1+i) (VP VPi) que também poderá ser fatorado em seu segundo termo, pois VP aparece duas vezes somado dentro do parêntese, ficando assim: 

(1+i) (VP (1+i))  Como o fator de correção aparece multiplicado por ele mesmo, significa que ele poderá ser elevado ao quadrado, ficando: VP (1+i)2

Se fizéssemos o mesmo procedimento para o 3° mês chegaríamos a VP (1+i)3

ou seja, a potência varia com o período a ser capitalizado, no caso serão meses - que será representado pela letra n. Sendo assim, VP (1+i)n é o conhecido "Fator de acumulação de capital em juros compostos" para o qual existem tabelas para o caso da falta de uma calculadora com expoentes. Temos então uma fórmula para a capitalização com juros compostos para se chegar a um "valor futuro" - aqui chamado de VF.   VF = VP (1+i)n

Aplicando em nosso exercício teremos:

VF = 100,00 (1+0,2)= 100,00 (1,2)3 = 100,00. 1,728 =  172,80

Caso a incógnita fossem os juros. teríamos:  172,80 = 100 (1+i)3

172,80/100 = (1+i)3   ;    1,728 = (1+i)3    ;   o contrário de elevar ao cubo é extrair a raiz cúbica, ou elevar á potência de 1/3, buscando a raiz cúbica de 1,728 teremos 1,19999....  menos o 1 resta 0,199999 que em decimais é praticamente 20%.

Caso a incógnita fosse o "n" teríamos que aplicar cálculos com logarítimos.

No regime de capitalização composta os juros são somados ao capital anterior formando um novo capital a cada período. Se os juros forem mensais, por exemplo, a cada mês há uma nova capitalização, portanto são exponenciais.

Vamos supor um capital de R$100,00 tomados a juros de 20% por 3 meses.

No 1° mês a dívida será de R$100,00 + os juros sobre ele 100,00 x 20/100.

* lembrando que 20% significa 20/100 que em decimais é 0,2.

100,00+100,00.20/100=120,00   No mês seguinte o novo capital será de 120,00, mas vamos reescrevê-lo como na conta acima.

No segundo mês teremos a dívida anterior (100,00+100,00.20/100) mais os juros sobre ele mesmo, (100,00+100,00.20/100).20/100.

Para facilitar chamaremos os 100,00 iniciais de "Valor Presente" (VP), e os "juros" de 20/100 de i. Assim teremos no 2° mês:  (VP + VP.i) +  (VP + VP.i)i

Fatorando podemos colocar o VP em evidência: VP (1+i) + (VP + VPi)i

agora colocaremos o i para dentro do segundo parêntese VP (1+i) + (VPi+VPi2)

pode-se agora colocar o VPi em evidência VP (1+i) + VPi (1+i)

Veja que no 1° mês temos VP vezes 1 que significa ele mesmo mais os juros i e no 2° mês é acrescido juros sobre o valor já capitalizado no primeiro mês. Assim chamaremos (1+i), por enquanto, de fator de correção da aplicação. A multiplicação por 1 repõe o capital inicial na conta e o i que será representado pelo valor decimal após a vírgula acrescenta-lhe os juros.

Dito isso, mais uma vez temos um elemento repetido, portanto, passível de fatorar, trata-se do próprio fator de correção da aplicação.

Vejamos: (1+i) (VP VPi) que também poderá ser fatorado em seu segundo termo, pois VP aparece duas vezes somado dentro do parêntese, ficando assim: 

(1+i) (VP (1+i))  Como o fator de correção aparece multiplicado por ele mesmo, significa que ele poderá ser elevado ao quadrado, ficando: VP (1+i)2

Se fizéssemos o mesmo procedimento para o 3° mês chegaríamos a VP (1+i)3

ou seja, a potência varia com o período a ser capitalizado, no caso serão meses - que será representado pela letra n. Sendo assim, VP (1+i)n é o conhecido "Fator de acumulação de capital em juros compostos" para o qual existem tabelas para o caso da falta de uma calculadora com expoentes. Temos então uma fórmula para a capitalização com juros compostos para se chegar a um "valor futuro" - aqui chamado de VF.   VF = VP (1+i)n

Aplicando em nosso exercício teremos:

VF = 100,00 (1+0,2)= 100,00 (1,2)3 = 100,00. 1,728 =  172,80

Caso a incógnita fossem os juros. teríamos:  172,80 = 100 (1+i)3

172,80/100 = (1+i)3   ;    1,728 = (1+i)3    ;   o contrário de elevar ao cubo é extrair a raiz cúbica, ou elevar á potência de 1/3, buscando a raiz cúbica de 1,728 teremos 1,19999....  menos o 1 resta 0,199999 que em decimais é praticamente 20%.

Caso a incógnita fosse o "n" teríamos que aplicar cálculos com logarítimos.

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Guilherme Silva

Há mais de um mês

aa

Obs. : Fator comum em evidência

Esse caso de fatoração pode ser assim representado:

ax+bx=x⋅(a+b)

Veja que o termo a ser colocado em evidência foi o x, pois ele se repete na composição do monômio ax e bx.

Exemplos:

2x + 2y = 2⋅(x+y)

2ax − 5bx = x⋅(2a−5b)

3x2 + x = x(3x + 1)    

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