fisica 3 alguém responde

Este exercício envolve conceito de equilíbrio estático, da mecânica Newtoniana e conceitos de atração e repulsão de cargas eletrizadas do eletromagnetismo. O primeiro ponto importante que precisamos ter em mente é que quando um corpo está em equilíbrio a somatória das forças que atuam sobre ele têm que ser nula, portanto, para este exercício: $\sum F_x = \sum F_y = 0$, onde $F_x$ são as forças que atuam ao longo do eixo $x$ e $F_y$ são as forças que atuam ao longo do eixo $y$ sobre o objeto de massa $m$ e carga $q$. Para começarmos a resolver o exercício, consideremos a figura abaixo, que representa o enunciado. 

Pela figura e pela condição de equilíbrio estático temos que, no eixo $x$:

$$\sum F_x=-T\text{sen}(\theta)+qE=0\Rightarrow q=\frac{T\text{sen}(\theta)}{E}.$$

E no eixo $y$ temos:

$$\sum F_y=T\text{cos}(\theta)-mg=0\Rightarrow T=\frac{mg}{\text{cos}(\theta)}.$$

Substituindo $T$ na primeira equação, obtemos:

$$q=\frac{mg\text{sen}(\theta)}{E\text{cos}(\theta)}=\frac{mg\text{tan}(\theta)}{E}.$$

Para, finalmente determinarmos a carga, precisamos determinar o valor do campo elétrico de uma distribuição linear de carga uniforme $\lambda$. Este campo pode ser calculado através da Lei de Gauss. Consideremos uma superfície cilíndrica de raio $r=l\text{sen}(\theta)$ e altura $h$, então, o campo elétrico é dado por

$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{q}{\epsilon_0}\Rightarrow E2\pi rh=\frac{\lambda h}{\epsilon_0}\Rightarrow E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0l\text{sen}(\theta)}.$$

Portanto, chegamos que

$$\boxed{q=\frac{2\pi\epsilon_0mgl\text{sen}^2(\theta)}{\lambda\text{cos}(\theta)}}.$$