Conforme a jurisprudência da Suprema Corte, de quem é a competência para julgar demandas contra o CNJ e CNMP?

A competência será do STF, desde que a ação esteja veiculada à matéria Constitucional. (vide AO 1.680 e AO 1.814.

Salvo essa hipótese a competência será da justiça federal, já que são órgãos do judiciário da União. 

O artigo 102 da Constituição determina:

Art. 102. Compete ao Supremo Tribunal Federal, precipuamente, a guarda da Constituição, cabendo-lhe:

I - processar e julgar, originariamente:

r) as ações contra o Conselho Nacional de Justiça e contra o Conselho Nacional do Ministério Público;

Entretanto, no dia 24 de setembro de 2014, o plenário do STF determinou que a competência do mesmo para processar e julgar ações que questionam atos do Conselho Nacional de Justiça (CNJ) e do Conselho Nacional do Ministério Público (CNMP) limita-se às questões constitucionais e  às ações tipicamente mandamentais: mandados de segurança, mandados de injunção, habeas corpus e habeas data, não alcançando as ações originárias.

Para o ministro Marco Aurélio, relator de uma das ações no STF,  seria impróprio interpretar-se que o artigo 102 (inciso I, alínea “r”) proclama que toda e qualquer ação a envolver o Conselho Nacional de Justiça ou o Conselho Nacional do Ministério Público, portanto, ajuizada contra a União, seja da competência do Supremo.