seja t o operador linear do r2 tal que T(1,0)=(2,1) e t(0,1)=(-1,1) encontre t(x,y)
💡 3 Respostas
Andre Smaira
Nesse exercício vamos estudar transformação linear.
Tanto o vetor de origem quanto o de destino pertencem ao conjunto $\mathbb{R}^2$, de forma que temos uma matriz de transformação 2x2:
$$v'=Tv$$
$$T=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$
Vamos então escrever as duas transformações dadas nesse formato:
$$\begin{cases}T(1,0)=(2,1)\\T(0,1)=(-1,1)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\end{cases}$$
Temos, portanto a matriz da transformação:
$$T=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}$$
Aplicando a um ponto genérico, temos:
$$\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y\\x+y\end{pmatrix}$$
Ou na notação do enunciado:
$$\boxed{T(x,y)=(2x-y,x+y)}$$
RD Resoluções
Nesse exercício vamos estudar transformação linear.
Tanto o vetor de origem quanto o de destino pertencem ao conjunto $\mathbb{R}^2$, de forma que temos uma matriz de transformação 2x2:
$$v'=Tv$$
$$T=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$
Vamos então escrever as duas transformações dadas nesse formato:
$$\begin{cases}T(1,0)=(2,1)\\T(0,1)=(-1,1)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\end{cases}$$
Temos, portanto a matriz da transformação:
$$T=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}$$
Aplicando a um ponto genérico, temos:
$$\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y\\x+y\end{pmatrix}$$
Ou na notação do enunciado:
$$\boxed{T(x,y)=(2x-y,x+y)}$$
Andréa Moraes
T(1,0)=(2,1)
T(0,1)=(-1,1)
Multiplicando os escalares a e b, temos:
(x,y)= a(1,0)+b(0,1)
(x,y)=(a,0)+(0,b)
Somando os elementos, temos:
(x,y)=(a+0, 0+b)= (a,b)
logo, x=a, y=b
Substituindo em (x,y)= a(1,0)+b(0,1), temos:
(x,y)= x(1,0)+y(0,1)
aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade:
T(x,y)= x.T(1,0)+y.T(0,1)
Considerando que T(1,0)=(2,1) e T(0,1)=(-1,1), substituindo, temos:
T(x,y)= x.(2,1)+y.(-1,1)
Multiplicando pelos escalares, temos:
T(x,y)= (2x,x)+(-y,y)
Portanto, fazendo a soma, temos que:
T(x,y)= (2x-y , x+y)
Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto
Esse e outros conteúdos desbloqueados
16 milhões de materiais de várias disciplinas
Impressão de materiais
Agora você pode testar o
Passei Direto grátis
✏️ Responder
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Outros materiais
Perguntas relacionadas
Materiais relacionados
Compartilhar