Como obter uma base

Um espaço vetorial real é um conjunto , não vazio, com duas operações vetoriais: soma e multiplicação por escalar. Assim, para quaisquer vetores são válidas as operações com vetores no espaço. Por exemplo, o conjunto dos vetores no espaço tridimensional

é evidentemente um espaço vetorial porque nele podemos fazer todas as operações com vetores e usar suas propriedades dentro desse espaço.

Agora, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial , um subconjunto finito de vetores de tal forma que qualquer vetor do espaço seja uma combinação linear desses vetores. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere tal que todos os elementos sejam necessários para gerar. Denominamos esse conjunto de vetores desse tipo de base.

Pela definição, um conjunto de vetores de será uma base dese:

i) é linearmente independente

ii)

Ou seja, sejam vetores não nulos que gerem um espaço vetorial . Então, dentre esses vetores podemos extrair uma base de . Se são linearmente independentes, então existe uma combinação linear deles, com algum coeficiente não zero, que resulta no vetor nulo:

Qualquer conjunto com mais de vetores não será linearmente independente. Portanto qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e é denominado dimensão de .

Assim, se soubermos o número da dimensão do espaço e encontrarmos um conjunto com o mesmo número de vetores que a sua dimensão que sejam linearmente independentes podemos afirmar que ele é uma base e, portanto, gera o espaço vetorial. Qualquer vetor desse espaço será definido como uma combinação linear desses vetores da base.

Um espaço vetorial real é um conjunto , não vazio, com duas operações vetoriais: soma e multiplicação por escalar. Assim, para quaisquer vetores são válidas as operações com vetores no espaço. Por exemplo, o conjunto dos vetores no espaço tridimensional

é evidentemente um espaço vetorial porque nele podemos fazer todas as operações com vetores e usar suas propriedades dentro desse espaço.

Agora, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial , um subconjunto finito de vetores de tal forma que qualquer vetor do espaço seja uma combinação linear desses vetores. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere tal que todos os elementos sejam necessários para gerar. Denominamos esse conjunto de vetores desse tipo de base.

Pela definição, um conjunto de vetores de será uma base dese:

i) é linearmente independente

ii)

Ou seja, sejam vetores não nulos que gerem um espaço vetorial . Então, dentre esses vetores podemos extrair uma base de . Se são linearmente independentes, então existe uma combinação linear deles, com algum coeficiente não zero, que resulta no vetor nulo:

Qualquer conjunto com mais de vetores não será linearmente independente. Portanto qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e é denominado dimensão de .

Assim, se soubermos o número da dimensão do espaço e encontrarmos um conjunto com o mesmo número de vetores que a sua dimensão que sejam linearmente independentes podemos afirmar que ele é uma base e, portanto, gera o espaço vetorial. Qualquer vetor desse espaço será definido como uma combinação linear desses vetores da base.