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Estou com dificuldades para fazer esse exercício, alguém poderia me ajudar com a resolução??

No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense terminaram exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é computada da seguinte forma: se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério de desempate utilizado é o número de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No total, cada time disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte informação: o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois. Seguindo o que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor colocado e, consequentemente, conquistou a última vaga para disputar o importante campeonato Libertadores da América. 

a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima cuja solução será o número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. Mostre, utilizando o determinante da matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e determinado. 

b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes. 

c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na letra b). 

d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê?


1 resposta(s)

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Anderson Ribeiro De Oliveira

Há mais de um mês

Como cada time disputou 38 jogos, temos:

a + b + c = 38

Chapecoense

Como teve 15 vitórias, a = 15.

Atlético Mineiro

"o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois"

a + b = 2·c + 2

Logo,

a + b = 2c + 2

a + b - 2c = 2  (I)

Sabemos que: a + b + c = 38. Então:

b = 38 - a - c  (II)

O número de pontos é dado por:

P = 3a + 0b + 1c

P = 3a + c

Como marcou 54 pontos, temos:

54 = 3a + c

c = 54 - 3a  (III)

Substituindo (II) e (III) em (I), temos:

a + b - 2c = 2

a + (38 - a - c) - 2(54 - 3a) = 2

a + 38 - a - (54 - 3a) - 2(54 - 3a) = 2

38 - 54 + 3a - 108 + 6a = 2

-124 + 9a = 2

9a = 2 + 124

9a = 126

a = 126/9

a = 14

Portanto, o Atlético Mineiro teve 14 vitórias.

O Chapecoense tem 1 vitória a mais.

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Como cada time disputou 38 jogos, temos:

a + b + c = 38

Chapecoense

Como teve 15 vitórias, a = 15.

Atlético Mineiro

"o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois"

a + b = 2·c + 2

Logo,

a + b = 2c + 2

a + b - 2c = 2  (I)

Sabemos que: a + b + c = 38. Então:

b = 38 - a - c  (II)

O número de pontos é dado por:

P = 3a + 0b + 1c

P = 3a + c

Como marcou 54 pontos, temos:

54 = 3a + c

c = 54 - 3a  (III)

Substituindo (II) e (III) em (I), temos:

a + b - 2c = 2

a + (38 - a - c) - 2(54 - 3a) = 2

a + 38 - a - (54 - 3a) - 2(54 - 3a) = 2

38 - 54 + 3a - 108 + 6a = 2

-124 + 9a = 2

9a = 2 + 124

9a = 126

a = 126/9

a = 14

Portanto, o Atlético Mineiro teve 14 vitórias.

O Chapecoense tem 1 vitória a mais.

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