No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense terminaram exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é computada da seguinte forma: se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério de desempate utilizado é o número de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No total, cada time disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte informação: o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois. Seguindo o que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor colocado e, consequentemente, conquistou a última vaga para disputar o importante campeonato Libertadores da América.
a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima cuja solução será o número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. Mostre, utilizando o determinante da matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e determinado.
b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes.
c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na letra b).
d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê?
Como cada time disputou 38 jogos, temos:
a + b + c = 38
Chapecoense
Como teve 15 vitórias, a = 15.
Atlético Mineiro
"o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois"
a + b = 2·c + 2
Logo,
a + b = 2c + 2
a + b - 2c = 2 (I)
Sabemos que: a + b + c = 38. Então:
b = 38 - a - c (II)
O número de pontos é dado por:
P = 3a + 0b + 1c
P = 3a + c
Como marcou 54 pontos, temos:
54 = 3a + c
c = 54 - 3a (III)
Substituindo (II) e (III) em (I), temos:
a + b - 2c = 2
a + (38 - a - c) - 2(54 - 3a) = 2
a + 38 - a - (54 - 3a) - 2(54 - 3a) = 2
38 - 54 + 3a - 108 + 6a = 2
-124 + 9a = 2
9a = 2 + 124
9a = 126
a = 126/9
a = 14
Portanto, o Atlético Mineiro teve 14 vitórias.
O Chapecoense tem 1 vitória a mais.
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