alguem consegue resolver essas equacoes de bernoulli? dy/dx=5y-4x/y

Primeiramente, rescreva da seguinte forma:

dy(x)/dx - 5y(x) = - 4x/y(x)

multiplicar os dois lados por 2y(x): o valor 2 será justificado no próximo passo.

2y(x) dy(x)/dx - 10y(x)^2=-8x

seja v(x)=y(x)^2, então dv(x)/dx= 2y(x) * dy(x)/dx --> derivadas parciais; note que o fator 2 aparece e a derivada de v(x) é exatamente o primeiro termo que temos na EDO:

Substituindo dv(x)/dx = 2y(x)dy(x)/dx e y(x)^2 = v(x), temos:

dv(x)/dx - 10v(x)=-8x

o fator integrante é u(x) = e^-10x  

multiplique os dois lados pelo fator integrante:

(dv(x)/dx) * (e^10x) - 10v(x) * (e^-10x) = -8x / (e^10x)

note que du(x)/dx = -10e^-10x, estes termos existem no segundo fator da soma dada no passo anterior, logo:

((dv(x)/dx) * (e^10x)) + (du(x)/dx)*v(x) = -8x / (e^10x)

perceba que a regra do produto aplicado em:

(d/dx)(v(x)u(x)) = (dv(x)/dx)*u(x)+v(x)*(du/dx) =>

(d/dx)(v(x)u(x)) = ((dv(x)/dx) * (e^-10x)) + v(x) * (du(x)/dx)

esta derivada é exatamente o primeiro termo da EDO;

(d/dx)(v(x)u(x)) = -8x / (e^10x)

integrando dos dois lados

integral[ (d/dx)(v(x)u(x)) dx = -8x / (e^10x) dx]

No lado esquerdo a integral se cancela, é necessário resolversomente o lado direito:

Lembrando que u(x)=e^-10x:

(v(x)/e^10x) = -(8((-x/10) - (1/100))) / (e^10x) + c1

multiplicando os dois lados por u(x)^-1=e^10x:

v(x) = 8x/10 + 8/100 + c1*e^10x

como v(x) = y(x)^2

|y(x)| = raiz[ 8x/10 + 8/100 + c1*e^10x ]

y(x) =+ou- raiz[ 8x/10 + 8/100 + c1*e^10x ]

Primeiro Passo: Organizar a equação de Bernoulli:
Antes de continuar, saiba que deve ter conhecimento básico de Eq. Diferenciais: Lineares

\(\frac{dy}{dx}=5y−\frac{4x}{y}\), logo.: \(\frac{dy}{dx}−5y=4x∗y^{−1}\), com a equação organizada, iremos achar primeiro o Fator de Integração denominado por \(P(x)\). Vale salientar que, em EDO para Bernoulli, é necessário que você tenha além do \(P(x)\): os itens já estão com seus respectivos valores, então temos: \(f(x)= 4x, n=1−(−1)=2,w=y^{−1−(−1)}, w=2\)

Resolvendo a equação (parte 1):
Antes de resolver, saiba que a equação geral de Bernoulli é: \(\frac{dw}{dy} +(1-n) * P(x)*w = (1-n)*f(x)\), seguindo:

\(\frac{dw}{dx}−(n)∗5∗ (w)=4x∗(n)\)

\(\frac{dw}{dx} −(2)∗5w=4x∗(2)=>\frac{dw}{dx}−10w=8x\), assim com ela encaminhada, iremos resolver o fator de integração. O nosso fator de integração será \(-10\).

Resolvendo o \(P(x)\): O Fator de integração nada mais é que uma Integral (∫) de Euler (\(e\)). Portanto
\(P(x)=∫e^{-10}\). Por \(e^{−10}\) ser constante, jogamos para fora da integral e seu resultado \(e^{-10}∫1dx\),logo: \(e^{-10}∫1dx=> e^{-10} \int xdx => xe^{-10}\).
Ajeitando: \(e^{-10x}\).Agora que temos nosso fator de integração \(P(x)=e^{-10x}\), podemos dar segmento a nossa expressão e finalizá-la.

\(\frac{d}{dx}[e^{-10x}∗w]=8x∗e^{-10x}\). Para podermos cancelar esta derivada,

integramos de em ambos os lados assim temos: \(∫\frac{d}{dx}[e^{-10x}∗w]=∫8x∗e^{-10x}\)

Agora cancelando apenas a derivada: \([e^{-10x}∗w]=∫8x∗e^{-10x}\)

Resolvendo a integral (Calcula-se pelo metodo de partes) temos por fim:

\(8\left(\frac{1}{10}e^{10x}x-\frac{1}{100}e^{10x}\right)+C\). Passamos nosso fator de integração que esta multiplicando, dividindo - cancelando fatores iguais chegamos a:

\(w=8x-\frac{2}{25}+\frac{c}{e^{-10x}}\). Finalizando: \(y^2 = 8x - \frac{2}{25} + c*e^{10x}\)