mostrar que não existe n E IN tal que n^2 +2n + 12 seja divisivel 12

\[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,...\}\]

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O termo \(n^2+2n+12\) só poderá ser divisível por \(12\) se a divisão \({(n^2+2n+12)/ 12}\) resultar em um número natural. Ou seja:

\[\begin{align} {(n^2+2n+12) \over 12} &\in \mathbb{N} \\ {(n^2+2n+12) \over 12} &=k, \,\,\,\,\,\, k=1,2,3,... \end{align}\]

Obs: o valor de \(k\) não pode ser zero porque isso implicaria que o termo \(n^2+2n+12\) é nulo. No entanto, para \(n \in \mathbb{N}\), o termo \(n^2+2n+12\) nunca é nulo.

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Com isso, a equação anterior fica da seguinte forma:

\[\begin{align} n^2+2n+12 &=12k \\ n^2+2n+12 &=12;24;36;... \\ n^2+2n &=0;12;24;... \end{align}\]

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1. Resolvendo a equação \(n^2+2n=0\), as soluções são:


\[\left\{ \begin{matrix} n_1=0 \\ n_2=-2 \end{matrix} \right.\]


A solução \(n_1=0\) é um número natural, ao contrário de \(n_2=-2\).

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1. Resolvendo a equação \(n^2+2n=12\), as soluções são:


\[\left\{ \begin{matrix} n_1=2,61 \\ n_2=-4,61 \end{matrix} \right.\]


Nenhuma das soluções é um número natural.

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1. Resolvendo a equação \(n^2+2n=24\), as soluções são:


\[\left\{ \begin{matrix} n_1=4 \\ n_2=-6 \end{matrix} \right.\]


A solução \(n_1=4\) é um número natural, ao contrário de \(n_2=-6\).

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Substituindo \(n=0\) e \(n=4\) em \({(n^2+2n+12)/ 12}\), tem-se o seguinte:


\[\left\{ \begin{matrix} {(0^2+2\cdot 0+12)/ 12}={12 / 12}=1 \\ {(4^2+2\cdot 4+12)/ 12}=(16+8+12)/12=3 \end{matrix} \right.\]


Pelos resultados \(1\) e \(3\), tem-se que a constatação do enunciado está _errada_, porque existem valores naturais de \(n\) que permitem que o termo \({n^2+2n+12}\) seja divisível por \(12\)

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Concluindo, o enunciado do exercício, está errado, porque existem valores naturais de \(n\) tal que o termo \({n^2+2n+12}\) é divisível por \(12\). Por exemplo, \(n=0\) e \(n=4\).