Soma de Riemann

P = [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , . . . , [ x n − 1 , x n ]

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para explicar a soma de Riemann. Para isso, será considerada a função da imagem a seguir:

Na imagem, tem-se a função contínua no intervalo . Para calcular a área delimitada por , o eixo e as retas e , pode-se dividir o intervalo em blocos (ou subintervalos). A largura de cada um é , , e ; e altura de cada subintervalo é igual ao valor máximo alcançado por .

Com isso, o primeiro bloco possui largura e altura , o segundo bloco possui largura e altura e assim por diante. Portanto, a área pode ser calculada pela seguinte equação:

No entanto, a imagem permite visualizar que há um porção significativa dos blocos que está acima de . Portanto, a equação anterior não calcula a área desejada com exatidão.

Para melhorar essa exatidão, pode-se dividir a área em mais blocos. Quanto mais blocos, menor a largura de cada um e, consequentemente, menor será a porção acima de , conforme a imagem a seguir:

Portanto, a nova equação de fica da seguinte forma:

Com o valor de tendendo para o infinito, a largura tende a zero. Portanto, pode-se trocar o símbolo de somatório pelo símbolo de integração. Após essa troca, a equação final da área é:

A notação (e , por analogia) diz respeito a uma largura infinitesimal localizada no eixo (ou eixo , por analogia) e dentro do intervalo de integração .

Resumidamente, aplicando a Soma de Riemann, a área limitada pela função é:

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para explicar a soma de Riemann. Para isso, será considerada a função da imagem a seguir:

Na imagem, tem-se a função contínua no intervalo . Para calcular a área delimitada por , o eixo e as retas e , pode-se dividir o intervalo em blocos (ou subintervalos). A largura de cada um é , , e ; e altura de cada subintervalo é igual ao valor máximo alcançado por .

Com isso, o primeiro bloco possui largura e altura , o segundo bloco possui largura e altura e assim por diante. Portanto, a área pode ser calculada pela seguinte equação:

No entanto, a imagem permite visualizar que há um porção significativa dos blocos que está acima de . Portanto, a equação anterior não calcula a área desejada com exatidão.

Para melhorar essa exatidão, pode-se dividir a área em mais blocos. Quanto mais blocos, menor a largura de cada um e, consequentemente, menor será a porção acima de , conforme a imagem a seguir:

Portanto, a nova equação de fica da seguinte forma:

Com o valor de tendendo para o infinito, a largura tende a zero. Portanto, pode-se trocar o símbolo de somatório pelo símbolo de integração. Após essa troca, a equação final da área é:

A notação (e , por analogia) diz respeito a uma largura infinitesimal localizada no eixo (ou eixo , por analogia) e dentro do intervalo de integração .

Resumidamente, aplicando a Soma de Riemann, a área limitada pela função é: