Domínio da função?

Entra em contato para enviar essas respostas, tentei enviar aqui mas fala que a resposta está duplicada. 81997011759

\[f(x)={10x \over x^2+1}\]

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Para \(f(x)\) existir, seu denominador deve ser diferente de zero. Ou seja, \(x^2+1 \ne 0\).

Portanto, os valores de \(x\) correspondentes são:

\[\begin{align} x^2 &\ne -1 \\ x &\in \mathbb{R} \\ \end{align}\]

Ou seja, \(f(x)\) existe para qualquer \(x\) real.

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Igualando \(f(x)=4\), a função anterior fica da seguinte forma:

\[\begin{align} 4&={10x \over x^2+1} \\ x^2+1&={10x \over 4} \\ x^2+1&=2,5x \\ x^2-2,5x+1&=0 \\ \end{align}\]

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Com a equação anterior no formato \(ax^2+bx+c=0\), os valores de \(a\), \(b\) e \(c\) são:

\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} a&=1 \\ b&=-2,5 \\ c&=1 \end{align} \end{matrix} \right.\]

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Com isso, os valores de \(x\) são:

\[\begin{align} x&={-b\pm \sqrt{b^2-4ac}\over 2a} \\ &={-(-2,5)\pm \sqrt{(-2,5)^2-4\cdot 1 \cdot 1}\over 2\cdot 1} \\ &={2,5\pm \sqrt{2,25}\over 2} \\ &={2,5\pm 1,5\over 2} \\ \end{align}\]

\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} x_1&=2 \\ x_2&=0,5 \end{align} \end{matrix} \right.\]

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Como \(x\) pode assumir qualquer valor real, as soluções encontradas são aceitáveis.

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Concluindo, o domínio de \(f(x)\) que resulta em imagem igual a \(4\) é: \(\boxed{x=\{0,5;2\}}\).