calcule o valor ou simplifique...a) 6!b)7!\/4!c) 3!5!\/4!6!12) quantas palavras(com significado ou não) de 3 letras podemos formar com as letras A, L,

a) 6!

b) \(\dfrac{7!}{4!}\)

c) \(\dfrac{3!5!}{4!6!}\)

Resolução

---

Para resolver esses cálculos, deve-se saber o conceito de fatorial.

---

O fatorial de um número P, sendo que \(P \in {\Bbb N}\), é dado por:

\[P!=P\times(P-1)\times(P-2)\times...\times1\]

---

Resolvendo para os item a, b e c, tem-se:

\[6!= 6\times5\times4\times3\times2\times1= 720\]

---

Resolvendo para o item b, tem-se:

\[\dfrac{7!}{4!} = \dfrac{7\times6\times5\times4!}{4!}=7\times6\times5=210\]

---

Resolvendo para o item c, tem-se:

\[\dfrac{3!5!}{4!6!}= \dfrac{(3\times2\times1)\times5\times4!}{4!6!}= \dfrac{6\times5}{6\times5\times4!}=\dfrac{1}{4!}=\dfrac{1}{24}\]

---

Finalmente, teremos que a resposta dos itens a, b e c são \(\boxed{720}\), \(\boxed{210}\) e \(\boxed{\dfrac{1}{24}}\), respectivamente.

----

Para resolver esse problema, é necessário o conhecimento sobre análise combinatória e arranjo simples.

---

O número de arranjos possíveis (A) para um conjunto de N elementos, dispostos em subgrupos de P elementos e sem repetição é dado por:

\[A= \dfrac{N!}{(N-P)!}\]

---

No respectivo problemas, temos um conjunto de 3 letras (A, L e I) (N=3) formando palavras compostas de 3 letras (P=3)

Assim, tem-se:

\[A= \dfrac{N!}{(N-P)!}=\dfrac{3!}{(3-3)!}=\dfrac{3!}{0!}=\dfrac{3\times2\times1}{1}=6\]

---

Sendo assim, podemos formar 6 palavras com as letras A, L e I sem que haja repetição das letras.

Essas palavras são:

1. ALI
2. AIL
3. LAI
4. LIA
5. IAL
6. ILA

---

Finalmente, temos que o número total de palavras que podem ser formadas são \(\boxed{6}\) e as palavras possíveis são ALI, AIL, LAI, LIA, IAL e ILA.

-----

Resolução

---

Para solucionar esse problema, deve-se conhecer o conceito de arranjo simples com repetição e arranjo simples sem repetição.

---

O número de combinações de um arranjo simples com repetição (AR) de N elementos dispostos em grupos de P elementos é dado por:

\[AR= N^P\]

---

Para escrever números de 4 algarismos (P = 4) dispondo dos algarismos 2, 4, 6 e 8 (N = 4), tem-se que:

\[\eqalign{ &AR=N^P \cr &AR = 4^4 \cr &AR = 4\times4\times4\times4= 256 }\]

---

Para escrever números de 4 algarismos (P=4) dispondo dos algarismos 2, 4, 6 e 8 (N=4), porém sem poder repeti-los, deve-se usar a fórmula do arranjo simples sem repetição, dada por:

\[A = \dfrac{N!}{(N-P)!}\]

---

Substituindo-se os valores tem-se:

\[A = \dfrac{4!}{(4-4)!} = \dfrac{4!}{0!} = \dfrac{4!}{1} = 4\times3\times2\times1=24\]

---

Finalmente, tem-se que a quantidade total de números com 4 algarismos com repetição é \(\boxed{256}\) e a quantidade total de números com 4 algarismos sem repetição é \(\boxed{24}\).

----

Resolução

---

Para solucionar esse problema, deve-se ter conhecimento em análise combinatório e arranjo simples sem repetição.

---

O número de arranjos possíveis (A) para um conjunto de N elementos, dispostos em subgrupos de P elementos e sem repetição é dado por:

\[A= \dfrac{N!}{(N-P)!}\]

------

No respectivo problemas, temos uma família de 5 pessoas (N=5) dispostas em um banco de 5 lugares (P=5).

---

Assim, tem-se:

\[A= \dfrac{N!}{(N-P)!}=\dfrac{5!}{(5-5)!}=\dfrac{5!}{0!}=\dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{1}=120\]

------

Sendo assim, o número de maneiras possíveis é \(\boxed{120}\).

----

Resolução

Para resolver esse exercício, deve-se saber o conceito de arranjo simples sem repetição e que 2 elementos do grupo estarão sempre juntos, limitando o número de possibilidades totais.

---

O número de arranjos possíveis (A) para um conjunto de N elementos, dispostos em subgrupos de P elementos e sem repetição é dado por:

\[A= \dfrac{N!}{(N-P)!}\]

Temos uma família de 5 pessoas (N=5) dispostas em um banco de 5 lugares (P=5), porém 2 lugares em sequência devem ser sempre ocupados pelas mesmas pessoas, não importando a ordem.

---

Dessa maneira, é conveniente pensar que as 2 pessoas que devem estar juntas formam um arranjo simples sem repetição com N=2 e P=2 e o restante das pessoas formam um arranjo simples sem repetição de 3 pessoas (N=3) em subgrupos de 3 elementos (P=3).

Sendo assim, o número de arranjos possíveis quando as 2 pessoas juntas estão numa ponta do banco de 5 lugares é dado por:

\[\dfrac{2!}{(2-2)!}\times\dfrac{3!}{(3-3)!}=\dfrac{2!}{0!}\times\dfrac{3!}{0!} =\dfrac{2\times1}{1}\times\dfrac{3\times2\times1}{1}=2\times6=12\]

------

O número total de conformações em um banco de 5 lugares para 2 pessoas juntas é 4.

Assim, o número de arranjos possíveis para um família de 5 pessoas onde 2 devam estar necessariamente juntas é dado por \(12\times4=48\).

---

Finalmente, temos que a resposta ao problema inicial é \(\boxed{48}\) maneiras distintas.

-----

Resolução

---

Para resolução desse exercício, deve-se conhecer conceitos de análise combinatório e permutação.

---

O número de anagramas da palavra AMOR é o número de palavras que são possíveis de formar com as letras A, M, O e R.

---

O número de palavras (P) é dado pela permutação de N elementos, cuja fórmula é:

\[P=N!\]

---

Uma vez que o número de letras é 4 (N=4), tem-se que:

\[P=4!=4\times3\times2\times1=24\]

---

Finalmente, tem-se que o número de anagramas da palavra AMOR são \(\boxed{24}\).

OJIKJ