Continuidade, Derivadas e limites

Oii, pra que uma função seja contínua, o limite dela com a variável tendendo a um ponto a, deve ser igual ao valor da própria função avaliada nesse ponto a.

Em 2)  A função f quando x = -2 é da forma 4/x . Logo f(-2)=-2

Vamos calcular os limites laterais

Quando x tende a -2 pela esquerda (valores menores que -2) a função ainda é f(x)=4/x -------------------------------> lim(4/x) = -2

Quando x tende a -2 pela direita (valores maiores que -2) a função é f(x)=Ax^2+Bx ----------------------------------->limAx^2+Bx = -2 (tem de ser igual ao limite lateral pela esquerda pra esse limite existir e igual a f(-2) para ela ser contínua nesse ponto)

4A-2B=-2   -->  2A-B=-1 ; guarda isso. rs

Quando x=3, f(x)=Cx+6 e f(3)=3C+6

Quando x tende a 3 pela esquerda (valores menores que -2) a função é f(x)=Ax^2+Bx ----------------------------------->limAx^2+Bx = 9A+3B = 3C+6 (tem de ser igual a f(3) ela ser contínua nesse ponto)

Quando x tende a 3 pela direita (valores mariores que 3) a função ainda é f(x)=Cx+6 -------------------------------> lim(Cx+6) = 3C+6 (tem de ser igual ao limite lateral pela esquerda pra esse pra esse limite existir e igual a f(3) para ela ser contínua nesse ponto).

Temos então    9A+3B=3C+6 --> 3A+B=C+2

a) 2A-B=-1

b) 3A+B=C+2       (fazendo as substituições):           [Isola A nas duas equações e compara (igual os                                                                                      dois), depois substitui B em b) e acha A, depois    B=7/5 -2C                                                                   substiui A e B em a) e acha C.]

A=C +1/5 

C=0   => B=7/5  => A=1/5.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) a)Se x=1 ou seja, |x|=1, f(x)=x^2 e f(1)=1

Quando x tende a 1 pela esquerda, |x|<1, então limx^2=1

Quando x tende a 1 pela direita, |x|>1, então lim x^2+ax+b=a+b+1

Então:      a+b+1=1 => a+b=0 => a=-b.

3)b) x=-1   , f(x)=x^2+2x+1 p/ |x|>1

f(-1)=(-1)^2=1  = lim f(x) com x tendendo a -1 pela esquerda

lim x^2+2x+1=0 com x tendendo a -1 pela direita, logo o limite não existe pois os limites laterais são diferentes e f não é contínua em x=-1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3)1)Podemos achar achar as retas tangentes a qualquer gráfico com a derivada da função, afinal, derivada é o coeficiente angular da reta tangente a um gráfico em um ponto dado. Logo, vamos derivar a função e achar as retas que têm o MESMO coeficiente angular que a reta que compõe o eixo OX.

A equação da reta OX é y=0, logo coeficiente angular igual a 0.

d(3x^4+4x^3-12x^2+20)/dx (derivando) =  12x^3+12x^2-24x

12x^3+12x^2-24x = 0 => x^3+x^2-2x=0 =>x(x^2+x-2)=0 

x1=0; x2=-2, x3=1.

3)2) 5x+y-3=0 => y=-5x+3 Coeficiente angular: -5

d(x^2-7x+3)dx = 2x-7 => 2x-7=-5  => x=1

3)3) Agora, para as retas serem PERPENDICULARES, o coeficiente de uma tem que ser o inverso e oposto da outra, ou seja n=-1/m

4x-2y+2=0 => y=2x+1 coef. ang: 2

y^2=2x^3 => y=raiz(2x^3) => d(raiz(2x^3))/dx => 6x^2/raiz(2x^3)

6x^2/raiz(2x^3) = -1/2  =>  12x^2=-raiz(2x^3) =>12x^2=-xraiz(2x)  => -12x=raiz(2x)  =>144x^2=2x => x=1/72 é o ponto procurado.